Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции 1-2 (Матрицы и определители).doc
Скачиваний:
168
Добавлен:
22.02.2015
Размер:
1.03 Mб
Скачать

I. Матрицы и определители 2

Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики 2

1.1. Понятие матрицы 4

1.2. Определители второго, третьего, n-го порядка 6

1.3. Свойства определителей 8

1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца 10

1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода) 12

1.6. Задания для самопроверки 15

Лекция 2. Алгебра матриц 16

2.1. Основные операции над матрицами и их свойства 17

2.2. Обратная матрица 20

2.3. Решение матричных уравнений 23

2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными 24

2.5. Задания для самопроверки 29

Ответы к примерам для самопроверки 30

I. Матрицы и определители

Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики

Содержание

1. Понятие матрицы.

2. Определители второго, третьего, n-го порядка.

3. Свойства определителей.

4. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода).

6. Задания для самопроверки

Определения

Теоремы и свойства

  • алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы

  • главная и побочная диагонали матрицы

  • диагональная матрица

  • единичная матрица

  • квадратная матрица

  • матрица

  • минор элемента квадратной матрицы

  • определитель n-го порядка

  • определитель второго порядка

  • определитель третьего порядка

  • транспонированная матрица

  • треугольная матрица

Свойства определителей

  • о величине определителя треугольной матрицы

  • о величине определителя, выраженной через алгебраические дополнения

  • о величине определителя, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k

  • о перестановке любых 2-х строк (столбцов) определителя

  • о сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца)

  • об общем множителе строки (столбца) определителя

  • об определителе транспонированной матрицы

  • об определителе, в некоторой строке которого каждый элемент равен сумме двух слагаемых

  • об определителе, у которого две строки (2 столбца) пропорциональны

  • об определитель с двумя равными строками (столбцами)

1.1. Понятие матрицы

Звуковое сопровождение лекции

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, где– номер строки,– номер столбца, таких, на пересечении которых расположены числа,

.

Пример

–матрица размера .

Определение

Если , матрица называетсяквадратной порядка .

Пример

–квадратная матрица второго порядка.

Определение

Главная и побочная диагональ квадратной матрицы –

Частные случаи квадратных матриц

а) треугольная матрица – выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю.

Пример

;

б) диагональная матрица – выше и ниже главной диагонали – нули, на главной диагонали произвольные числа.

Пример

;

в) единичная матрица – диагональная матрица, на главной диагонали которой – единицы.

Пример

–единичная матрица первого порядка.

–единичная матрица второго порядка.

–единичная матрица третьего порядка.

Таким образом ,

Определение

Транспонированная матрица – матрица , построенная из матрицы, путем замены строк на столбцы и наоборот (строки и столбцы меняются ролями).

Пример

Пример

, .