2.2. Методы линеаризации

В общем случае вектор-функции ив уравнениях (2.4) и (2.5) являются нелинейными. Если эти функции удаётся линеаризовать, то изучение подобных нелинейных, но линеаризованных систем, проводятся с применением значительно более простых методов применимых для линейных систем автоматического управления.

Методы линеаризации можно разделить на две группы:

2.2.1. Линеаризация статической нелинейности

Статическая нелинейность задается функцией и может быть представлена графически. Пусть линеаризация проводится при,,. При достаточно малом диапазоне изменения аргументасправедливо соотношение

, (2.6)

Введя обозначение , получим линейное уравнение относительно новой переменной

. (2.7)

Если диапазон изменения аргумента хфункциинастолько велик, что провести линеаризацию на всем диапазоне невозможно, то выбираются несколько значений аргументаопределяющие рабочие (опорные) режимы работы системы (или элемента системы). Тогда в достаточно небольшом диапазоне изменения переменнойх относительно выбранного рабочего режимаполучим линеаризованное уравнение (2.7) с коэффициентом. Значения коэффициентовпри этом могут существенно отличаться друг от друга.

2.2.2. Линеаризация динамической нелинейности.

а) Линеаризация относительно положения равновесия.

Динамический режим работы системы задан уравнениями (2.4) или (2.5). Пусть для системы существует стационарный режим, определяющий её положение равновесия, т.е.

(2.8)

Таким образом, в положении равновесия вектора - постоянные. Если отклонениядостаточно малы, то линеаризация уравнений (2.4) или (2.5) приводит к уравнениям вида

Частные производные вектор-функций ипо составляющим векторовиобразуют матрицыA,B,C,D, все элементы которых постоянны.

(2.9)

b) Линеаризация относительно опорного динамического режима.

Пусть задан некоторый динамический режим работы системы (опорный режим), т.е. заданы вектор-функции , на отрезке времени. Если отклоненияневелики, то линеаризованые уравнения совпадают с уравнениями (2.9), но матрицы коэффициентов в них,,,- являются функциями времени.

(2.10)

2.3. Математические методы описания характеристики линейных непрерывных систем

2.3.1. Дифференциальные уравненияn-го порядка

Рассматривается линейная или линеаризованная одноконтурная стационарная система n-го порядка с одним входным воздействием. Уравнения (2.9) после соответствующих преобразований всегда можно свести к одному уравнениюn-го порядка с постоянными коэффициентами, а уравнения (2.10) – к уравнению с переменными коэффициентами. В данной дисциплине будут рассматриваться только уравнения с постоянными коэффициентами.

Итак, входное задающее воздействие системы , выходная величина -. Линейная система автоматического управленияn-го порядка описывается дифференциальным уравнением

(2.11)

где n иm– наибольшие порядки производных функцийи,– постоянные коэффициенты. Для системы с полной информацией все эти параметры должны быть заданы.

При заданном входном воздействии и заданных начальных условиях

(2.12)

интегрирование уравнения (2.11) однозначно определяет закон изменения выходной величины для всех моментов времени(динамический режим работы системы).

2.3.2. Передаточная функция

Передаточной функцией W(s) комплексной переменной s называется отношение изображения выходной величины к изображению входного воздействияпри нулевых начальных условиях.Нулевые начальные условия для линейных непрерывных систем всегда предполагаются. (Этот вопрос будет рассмотрен ниже при описании временных характеристик). Таким образом,

(2.13)

где – оператор прямого преобразования Лапласа,- оператор обратного преобразования Лапласа.

Чтобы получить передаточную функцию системы, заданной уравнением (2.11), необходимо к обеим частям этого уравнения применить преобразование Лапласа. Тогда передаточная функция W(s) представляется в виде отношения двух полиномов комплексной переменноs.

(2.14)

где и– обозначение полиномов.

Приравнивая нулю, полином знаменателя, называемый характеристическим, формируется характеристическое уравнение

. (2.15)

Решением этого алгебраического уравнения являются значения nкорней характеристического уравнения или полюсов передаточной функции

Аналогично, приравнивая нулю полином числителя получаем в качестве решения нули передаточной функцииТогда, используя теорему Виета, передаточная функция представляется в виде

В зависимости от того, являются ли полюса или нуливещественными или комплексно-сопряженными,передаточная функция представляется в виде произведения передаточных функций определенного набора типовых звеньев. Например,

(2.16)

Типовые звенья будут подробно рассмотрены в следующем разделе.