10.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Пусть кривая имеет в каждой точке невертикальную касательную.

Кривая называется выпуклой (соответственно вогнутой), если она расположена ниже (соответственно выше) любой своей касательной (или на ней).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 10.5 (условие выпуклости).

Если на, то криваявыпукла.

Если на, то криваявогнута.

Теорема 10.6 (необходимое условие точки перегиба).

Пусть точка с абсциссой является точкой перегиба кривой.Тогда вторая производная в точкеравна нулю или не существует.

Теорема 10.7 (достаточное условие точки перегиба).

Если вторая производная при переходе через точкуменяет

знак, то точка есть точка перегиба кривой.

Для исследования кривойна выпуклость и отыскания точек перегиба нужно:

1. найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;

2. рассмотреть интервалы, на которые эти точки делят область определения функции;

3. исследовать знакна этих интервалах.

10.5. Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Отыскание вертикальных асимптот

Для отыскания вертикальных асимптот кривой следует исследовать точки разрыва функциии граничные точки ее области определения.

Если в исследуемой точке, то прямаяесть вертикальная асимптота.

Если только правосторонний предел , то прямаяявляется правосторонней вертикальной асимптотой.

Отыскание невертикальных асимптот

Теорема 10.8.Криваяимеет невертикальную асимптотутогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

10.6. Схема исследования функции и построение ее графика

При построении графика функции можно использовать следующую схему:

1). Найти область определения функции.

2). Проверить функцию на четность, нечетность, периодичность.

3). Найти асимптоты графика функции.

4). Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

5). Исследовать график функции на выпуклость и точки перегиба.

6). Найти (если возможно) точки пересечения с осями координат.

12. Неопределенный интеграл и его свойства

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Функция называетсяпервообразной для функциина промежутке, если в каждой точке этого промежутка

.

Теорема 12.1.Пусть функцияявляется первообразной для функции.

Тогда функции (произвольная постоянная) и только они являются первообразными для.

Множество всех первообразных функцииназывается неопределенным интегралом этой функции и обозначается.

Таким образом,

,

где – первообразная для функциина промежутке.

Функция называется подынтегральной функцией, выражениеназывается подынтегральным выражением, переменнаяназывается переменной интегрирования, число– постоянной интегрирования.

2. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная константа:

.

Это свойство иногда записывают по-другому:

.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла:

.

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

.

Это свойство справедливо также для любого конечного числа слагаемых.

6. Свойство инвариантности: вид формулы интегрирования останется неизменным (инвариантным), если независимую переменную xзаменить любой дифференцируемой функцией, то есть

если то.

2. Таблица основных интегралов

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .