5. Бесконечно малые функции

5.1. Определение и основные свойства

Функция называетсябесконечно малойпри, если

Рассмотрим ряд свойств бесконечно малых функций.

Теорема 5.1 (о связи функции с ее конечным пределом). (конечное) тогда и только тогда, когда, гдебесконечно малая функция при.

Теорема 5.2 (о произведении бесконечно малой функции на ограниченную).

Пусть функция − бесконечно малая при, а функция− ограничена в некоторой выколотой окрестности точки. Тогда произведение этих функцийявляется бесконечно малой функцией при

Теорема 5.3 (о сумме, разности, произведении бесконечно малых).

Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при.

5.2. Отношение бесконечно малых. Неопределенность

В отличие от суммы и произведения, отношение бесконечно малых функций может иметь любой предел или даже его не иметь. Например, для функций , являющихся бесконечно малыми при, имеем:

,

Поэтому отношение бесконечно малых функций называют неопределенностью вида . Отыскание предела в случае неопределенности называют раскрытием неопределенности.

5.3. Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется Он является неопределенностью.

Покажем, что

. (5.1)

Это равенство называют первым замечательным пределом.

Следствие:

5.4. Сравнение бесконечно малых

Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по «быстроте» стремления к нулю. Так, например, из двух функций и− бесконечно малых при, функциястремится к нулю «быстрее», чем. Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».

Пусть ибесконечно малые функции при.

1. Если конечен и отличен от нуля, тоиназывают бесконечно малымиодного порядкаи обозначают так:при.

В частности, если тоиназываютэквивалентными бесконечно малыми и обозначают так:при.

2. Если тоназывают бесконечно малойболее высокого порядка, чеми обозначают так:при.

3. Если тоибудет бесконечно малой более

высокого порядка, чем при.

4. Если не существует, тоиназываютнесравнимыми бесконечно малыми при.

при .

Это вытекает из первого замечательного предела и его следствия.

Теорема 5.4 (об эквивалентных бесконечно малых). Пусть при. Тогда

6. Бесконечно большие функции

6.1. Определение и основные свойства

Функция называется бесконечно большой при, если.

Различают частные случаи бесконечно больших функций, когда или.

Рассмотрим некоторые свойства бесконечно больших функций.

Теорема 6.1 (о связи с бесконечно малой).

Если функция бесконечно большая при, то функциябесконечно малая при.

Если функция бесконечно малая приив выколотой окрестности точки, то функциябесконечно большая при.

.

Теорема 6.2 (об арифметических операциях).

1). Произведение двух бесконечно больших при есть бесконечно большая при.

2). Произведение бесконечно большой при на функцию, имеющую ненулевой предел при, есть бесконечно большая при.

3). Отношение бесконечно большой при к бесконечно малой (отличной от нуля) приесть бесконечно большая при.

4). Сумма двух бесконечно больших одного знака при есть бесконечно большая того же знака при.