заданияч на контрольную работу
.pdfа) |
б) |
Р и с. 3.2
Решение.
1. Нарисуем схему замещения для расчета комплексным методом (рис. 3.2б) и запишем входное напряжение и сопротивления элементов в комплексном виде.
U = Ue jϕu = Um |
e jϕu |
= 282 e j30 = 200e j30 B ; |
|
. |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
zr |
= r1 |
=18 Ом; |
|
1 |
|
|
zС |
=−jxC |
=−j40 =40e−j900 Ом; |
|
1 |
1 |
|
|
|
zr |
= r2 |
= 22 Ом; |
|
2 |
|
|
zL1 = jxL1 = j12 =12ej900 Ом.
Определим комплексное значение сопротивления всей цепи
z = r1 − jxC1 + r2 + jxL1 =18 − j40 + 22 + j12 = 40 − j28 = 48,8e−j35 Ом.
Используя закон Ома, определим ток в цепи
. |
. |
|
|
j30 |
|
|
U |
|
200e |
= 4,1e j65 A . |
|||
I = |
= |
|
||||
z |
48,8e−j35 |
|||||
|
|
|
2. По полученному комплексному значению тока запишем выражение для мгновенного значения.
i = Im sin(ωt + ϕi ) = I 2 sin(ωt + ϕi ) = 4,1 2 sin(ωt + 65o) =5,79sin(ωt + 65o) . 3. Определяем показания приборов. Амперметр показывает
действующее значение тока 4,1 А.
Вольтметр измеряет напряжение на индуктивном элементе.
.
Определяем комплексное значение напряжения UL1 по закону Ома.
.
.
UL1 = I zL1 = 4,1e j65 12e j90 = 49,2e j155 B .
Вольтметр показывает 49,2 В.
4. Подсчитываем мощность источников и потребителей.
21
~ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Su |
= U I = 200e j30 4,1e−j65 =820e−j35 =671,7 − j470,3 BA . |
|
||||||
Мощность потребителей. |
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
+ I2 zC |
+ I2 zr |
+ I2 zL =(4,1)2 |
|
|
|
|
Sn = ∑Iк2 zк = I2 zr |
12e j0 |
+ (4,1)2 40e−j90 |
+ (4,1)2 |
|
||||
к |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22e j0 + (4,1)2 12e j90 =302,58 − j672,4 +369,82 + j201,72 =672,4 − j470,68 BA.
Определяем относительную ошибку δ |
|
|
|||||||||||||||||
δР |
= |
|
Pu − Pn |
|
100 % = |
|
|
|
671,7 −672,4 |
|
|
|
100 % =0,1 % , |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Pu |
|
671,7 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δQ = |
|
Qu −Qn |
|
|
|
|
100 % = |
|
470,3 − 470,68 |
|
100 % =0,08 % . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Qu |
|
|
470,3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность не превышает 5 %, расчет выполнен правильно. 5. Построим векторную диаграмму напряжений.
По закону Ома рассчитываем напряжения на все элементах схемы.
. |
. |
|
|
|
|
= 4,1e j65 |
18e j0 |
=73,8e j65 B; |
|
Ur |
= Iz |
r |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
= 4,1e j65 |
40e−j90 =164e−j25 B ; |
||
UC = Iz |
C |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
= 4,1ej65 |
22ej0 |
=90,2ej65 B; |
|
Ur |
= Iz |
r |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
= 4,1ej65 |
12ej90 |
= 49,2ej155 B. |
|
UL |
= I z |
L |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Векторную диаграмму напряжений строим на основании уравнения, |
|||||||||
составленному по второму закону Кирхгофа: |
|
||||||||
|
|
. . |
. |
. |
. |
||||
|
U |
= Ur1 |
+ UC1 + Ur2 |
+ UL1 . |
Р и с. 3.3
Векторная диаграмма напряжений приведена на рис. 3.3.
22
Задача 4 Расчет электрической цепи синусоидального тока с параллельным
соединением приемников
На рис. 4.1 изображена цепь переменного тока с параллельным соединением приемников. Значение напряжения U на зажимах цепи, активных r , индуктивных xL и емкостных xC сопротивлений приемников
приведены в табл. 4.1.
Р и с. 4.1
Необходимо:
1.Начертить схему цепи для решаемого варианта.
2.Определить все токи.
3.Построить векторную диаграмму.
4.Сопоставить значение тока I в неразветвленной части цепи, полученное из векторной диаграммы, со значением, полученным расчетом.
5.Определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью из сети.
Та б л и ц а 4.1
Группа |
Величина |
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
U, В |
127 |
220 |
150 |
|
130 |
260 |
200 |
180 |
100 |
160 |
240 |
||
|
r1, |
|
Ом |
10 |
12 |
9 |
|
14 |
9 |
5 |
7 |
11 |
13 |
8 |
А |
x L , |
Ом |
16 |
11 |
12 |
|
0 |
16 |
12 |
10 |
0 |
20 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xC1 |
, |
Ом |
7 |
20 |
0 |
|
10 |
3 |
20 |
0 |
4 |
7 |
20 |
|
r2 , |
|
Ом |
8 |
10 |
12 |
|
9 |
11 |
15 |
14 |
13 |
10 |
12 |
|
x L2 |
, |
Ом |
16 |
0 |
0 |
|
16 |
8 |
12 |
12 |
10 |
11 |
20 |
|
xC2 |
, |
Ом |
16 |
13 |
15 |
|
0 |
16 |
16 |
10 |
0 |
9 |
13 |
Б |
r3 , Ом |
12 |
10 |
13 |
|
14 |
15 |
11 |
9 |
12 |
10 |
8 |
||
|
x L3 |
, |
Ом |
4 |
10 |
13 |
|
20 |
20 |
0 |
10 |
8 |
20 |
4 |
|
xC3 |
, |
Ом |
16 |
10 |
20 |
|
20 |
12 |
10 |
0 |
20 |
10 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
Примечание. В таблице 4.1 данные разделены на две группы А и Б. Номер варианта А выбирается по предпоследней цифре, а группы Б – по последней.
Задачу решить комплексным методом.
4.1. Методические указания и примеры расчета
Расчет электрической цепи с параллельным соединением элементов рекомендуется вести комплексным методом, используя законы Ома и Кирхгофа.
Порядок расчета.
1.По закону Ома определяют токи в параллельных ветвях.
2.Используя первый закон Кирхгофа, рассчитывают ток неразветвленной части схемы.
4.1.2. Пример расчета |
|
|
|
|
|
|||
Для |
электрической |
цепи, представленной |
на рис. |
4.2, |
задано: |
|||
U =100 B, |
r1 =16 Ом, r2 |
= 20 Ом, r3 |
=12 Ом, xC |
=12 Ом, |
xC |
2 |
=16 Ом; |
|
xL =18 Ом, xL |
=15 Ом. |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Определить токи в ветвях, составить баланс мощностей, построить векторную диаграмму токов.
Р и с. 4.2
Решение.
1. Определим комплексные сопротивления всех ветвей.
z1 =zr1 + zC1 + zL1 =r1 − jxC1 + jxL1 =16 − j12 + j18 =16 + j6 =17,1e j20,50 Ом z2 = zr2 +zC2 =r2 − jxC2 =20 − j16 = 25,6e−j38,60 Ом;
z3 =zr3 +zL3 =r3 + jxL3 =12 + j15 =19,2ej51,30 Ом. 2. Составим схему замещения (рис. 4.3.)
24
Р и с. 4.3
Запишем входное напряжение в комплексном виде.
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
U = Ue jϕu =100e j0 B . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|||||||
По закону Ома определим токи I1 , |
I2 , I3 : |
|
|||||||||||||||
. |
|
. |
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
U |
|
= |
|
100e |
|
|
=5,85e−j20,5 |
A ; |
||||||||
I1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
17,1ej20,5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
||||
= |
|
|
U |
= |
100e |
|
=3,9ej38,5 |
|
|||||||||
I2 |
|
|
|
|
|
|
A ; |
||||||||||
|
z2 |
25,6e−j38,6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U |
|
|
|
100e |
|
|
=5,2e−j51,3 |
|
||||||
I3 |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
A ; |
|||||||
|
|
z3 |
|
19,2ej51,3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Используя первый закон Кирхгофа, определим ток I . |
|
|
. . . . |
=5,85e−j20,5 +3,9ej38,5 +5,2e−j51,3 =5,48 |
− j2,05 + |
I = I1+ I2 +I3 |
+3,05 + j2,43 +3,25 − j4,06 =11,78 − j3,68 =12,34e−j17,30 A.
3.Правильность расчета токов проверим, составив баланс мощностей. Полная комплексная мощность источника:
~.
=U I =100e j0 12,34e j17,3 =1234e j17,3 =1178,2 + j366,9 BA .u
Полная комплексная мощность потребителей:
~
Sn = ∑Iк2 zк = I12 z1 + I22 z2 + I32 z3 =(5,85)2 17,1e j20,5 + (3,9)2 25,6e−j38,6 +
к
+ (5,2)2 19,2e j51,3 =585,2e j20,5 +389,38e−j38,6 +519,2e j51,3 =548,14 + j204,94 + +304,31 − j242,93 +324,63 + j405,2 =1177,1 + j367,2 BA.
Определяем относительную ошибку: |
|
||||||||||
δР = |
|
Pu − Pn |
|
|
100 % = |
|
|
1178,2 −1177,1 |
|
|
100 % =0,09 % ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Pu |
1178,2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
25
δQ = |
|
Qu −Qn |
|
|
100% = |
|
|
366,9 −367,2 |
|
|
100% =0,08% . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Qu |
366,9 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Погрешность не превышает 5 %, расчет выполнен правильно.
4. Векторную диаграмму токов строим на основании уравнения, cоставленного по первому закону Кирхгофа.
. . . .
I = I1 + I2 + I3 .
Р и с. 4.4
Векторная диаграмма представлена на рис. 4.4.
26
Задача 5 Расчет трехфазной цепи при соединении приемников «звездой»
К трехфазному источнику с симметричной системой фазных напряжений включена цепь, изображенная на рис. 5.1. Значения линейного напряжения U л , активных r , индуктивных xL и емкостных xC
сопротивлений приемников приведены в таблице 5.1. Сопротивления линейных и нейтрального проводов пренебрежимо малы.
Необходимо определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.
Т а б л и ц а 5.1
Вариант |
Uл, B |
|
|
|
Сопротивления, Ом |
|
|
|
|
||||
r1 |
xL |
xC |
r2 |
xL |
2 |
xC |
2 |
r3 |
xL |
3 |
xC |
||
|
|
|
1 |
1 |
|
5 |
|
|
|
3 |
|||
1 |
220 |
4 |
8 |
6 |
4 |
|
7 |
|
4 |
7 |
|
7 |
|
2 |
380 |
6 |
4 |
8 |
6 |
3 |
|
8 |
|
2 |
8 |
|
6 |
3 |
220 |
8 |
6 |
5 |
3 |
6 |
|
3 |
|
5 |
9 |
|
7 |
4 |
220 |
5 |
3 |
9 |
5 |
4 |
|
9 |
|
7 |
8 |
|
8 |
5 |
380 |
9 |
9 |
3 |
4 |
4 |
|
9 |
|
7 |
9 |
|
7 |
6 |
380 |
6 |
4 |
8 |
5 |
3 |
|
9 |
|
9 |
6 |
|
8 |
7 |
220 |
7 |
9 |
7 |
3 |
5 |
|
3 |
|
7 |
7 |
|
4 |
8 |
380 |
3 |
7 |
9 |
6 |
7 |
|
4 |
|
5 |
4 |
|
8 |
9 |
220 |
6 |
8 |
2 |
8 |
3 |
|
6 |
|
8 |
4 |
|
6 |
10 |
380 |
7 |
7 |
4 |
7 |
5 |
|
4 |
|
6 |
8 |
|
4 |
Р и с. 5.1
27
Ри с. 5.1. Продолжение
5.1.Методические указания и примеры расчета
5.1.1. Основные понятия и соотношения
Трехфазной называется электрическая цепь, в ветвях которой действуют три одинаковых по амплитуде синусоидальных ЭДС, имеющие
одну и ту же частоту, сдвинутые по фазе одна относительно другой на угол
120о.
В качестве источника энергии в трехфазных цепях используют синхронные генераторы, в обмотках которого индуктируются три ЭДС.
Мгновенные значения ЭДС изменяются в соответствии с выражениями:
eA = Em sin ωt , |
eB = Em sin(ωt −120o) , eC = Em sin(ωt +120o) . (5.1) |
где Em – амплитудное значение ЭДС в фазах А, В, С генератора. В комплексной форме ЭДС можно записать:
. |
|
|
. |
. |
|
EA = Eφe j0 |
, |
EB = Eφe−j120o , |
EC = Eφe j120o , |
(5.2) |
|
где Eφ = |
Em |
– действующее значение фазной ЭДС генератора. |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
Для источников и приемников трехфазной цепи существует две основные схемы соединения: звездой и треугольником.
При соединении звездой концы фаз x, y, z объединяются в одну общую точку, называемую нейтральной N (рис. 5.2).
28
Р и с. 5.2
Провода, соединяющие начала фаз генератора А, В, С и приемника А1, В1, С1 называются линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора N и приемника N1 – нейтральным.
Токи, протекающие по линейным проводам, называются линейными и
. . .
обозначаются IA , IB , IC . Ток, протекающий по нейтральному проводу,
.
обозначается IN . Условное положительное направления токов указаны на рис. 5.2. Важной особенностью трехфазных цепей является наличие двух напряжений: фазного и линейного.
. . .
Фазные ( UA , UВ, UС ) – это напряжения между началом и концом каждой фазы источника (приемника).
. . .
Линейные ( UAВ, UВС , UСА ) – это напряжения между началами фаз источника (приемника).
Соотношения между линейными и фазными напряжениями при соединении фаз источника звездой определяется из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
(5.3) |
UAB = UA −UB ; |
UBС = UВ−UС ; |
UСA = UС−UА |
|||||||
Из векторной |
диаграммы, |
построенной для |
фазных и |
линейных |
напряжений (рис. 5.3), следует соотношение между их действующими значениями:
Uл = 3Uφ. |
(5.4) |
29
Ри с. 5.3
5.1.2.Расчет трехфазной электрической цепи «звезда-звезда» с нейтральным проводом
Для расчета трехфазных электрических цепей применяется комплексный метод расчета.
При достаточно малом сопротивлении нейтрального провода
разность потенциалов между точками N и N1 равна нулю. Следовательно, напряжения на фазах приемника равны соответствующим фазным напряжениям источника
. |
. |
. |
. |
. |
. |
UA1 |
= UA ; |
UB1 |
= UB ; |
UС1 |
= UС . |
Расчет цепи осуществляется в следующем порядке: 1. По закону Ома определяются линейные токи:
. |
|
|
. |
|
. |
|
||
IA = UA ; |
IB = UB ; |
IC = UC . |
||||||
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
zA |
|
zB |
|
zC |
|||
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
2. Используя первый закон Кирхгофа, рассчитывается ток |
||||||||
нейтрального провода. |
|
|
|
|
|
|
||
. |
. |
. |
|
. |
|
|
IN = IA + IB + IC .
5.1.3. Пример расчета
Для электрической цепи, представленной на рис. 5.4, определить токи и построить векторную диаграмму.
Дано: Uл =380 В; r1 = 40 Ом; r2 =55 Ом; xL1 =30 Ом; xС3 =80 Ом.
30