8.7. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида гдеm иn – целые числа.
Если хотя бы одно из чисел m иn – нечетное положительное, то применяют подстановкуcosx=z, приm– нечетном иsinx=z, приn– нечетном.
Найти интеграл
Применяем подстановку sinx=z,cosx= dz
Если mиn– четные положительные, то степени понижаются с применением формул вида:
и
Найти интеграл
Если m иn – четные и хотя бы один из них отрицательный, то применяют подстановкуtgx =z илиctgx=z.
Например,
2. Интегралы вида
Для нахождения данных интегралов применяют формулы из тригонометрии
Найти интеграл:
3. Интегралы вида
где R (sinx, cosx) – рациональная функция относительноsinxиcosx.
Для нахождения данных интегралов применяют подстановку:
при этом
Найти интеграл
Применяя указанную формулу, получим
Задание 8.7.Найти интегралы:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
8.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида
гдеR (x, y, z, …)– рациональная функция своих аргументов,m1, n1, m2, n2,… - целые числа, вычисляются с помощью подстановок , соответственно
где s – общий знаменатель дробей.
Пример: Найти интеграл.
Производим подстановку x + 2 = z6, dx = 6 z5 dz.
Интегралы вида
сводятся к интегралам от рациональной функции относительно sint иcost, если применить соответственно подстановки:
x = a sint или x = a cost ,
x = a tg t или x = a ctgt ,
x = a sect или x = a cosect .
Пример: Найти интеграл
Положим x =tgt , тогда
Выразим sint через заданную переменнуюx :
Следовательно,
Задание 8.8.Найти интегралы:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.