8. Неопределенный интеграл
8.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x)
называетсяпервообразнойфункцииf(x)на(a; b),еслиF'(x)
= f(x)для любого
.
Если F(x) иФ(x) две первообразные функцииf(x), тоФ(x) = F(x) + C, т.е. две любые первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величинуC.
Совокупность всех первообразных F(x) + C функцииf(x)называетсянеопределенным интеграломот функцииf(x) и обозначается символом
т.е.
(8.1)
В равенстве (8.1) f(x)называется подинтегральной функцией, аf(x)dx–подинтегральным выражением.
Нахождение неопределенного интеграла по данной подинтегральной функции есть действие интегрирования. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество плоских кривыхy = F(x) + C,которые называютинтегральными кривыми.
Свойства неопределенного интеграла:
Таблица основных неопределенных интегралов:
8.2. Непосредственное интегрирование
Интегрирование, основанное на применении основных свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов, принято называть непосредственным интегрированием.
Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а)
б)
в)
г)
Задание 8.1. Найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
8.3. Метод подстановки
Если интеграл
не является табличным, то часто его
можно упростить путем введения новой
переменнойt. Положимx = φ(t)
– это монотонная и непрерывно
дифференцируемая функция на некотором
промежутке. Если на указанном промежутке
функцияf(x)
интегрируема, то справедливо:
После того, как интеграл найден с помощью подстановки, следует возвратиться к первоначальной переменной x.Иногда вместо подстановкиx = φ(t)применяют подстановкуt = φ(x).
Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а) Подстановка t
= 7x + 1, тогдаdt = 7dxи dx =
б) Подстановка t
= x2 +1,
тогдаdt = 2xdx,
xdx =
.
в) Положим t =arcsinx,
тогда
.
г) Подстановка t =sinx, тогдаdt =cosxdxи
При решении примеров такого типа можно было бы явным образом не вводить переменную t,а поступать следующим образом:
Задание 8.2.Методом подстановки найти интегралы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
8.4. Интегрирование по частям
Если u(x)
иv(x)
– дифференцируемые функции, то
справедлива формула
Данную формулу интегрирования по частям
применяют в том случае, когда интеграл
более простой в вычислении по сравнению
с
При этом следует иметь в виду, что если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функции, то к u следует отнести многочлен, а оставшееся выражение кdv. Если же подинтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать заu, а остальное заdv.
Пример 1.Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а)
б)
в)
г)
Задание 8.3. Пользуясь формулой интегрирования по частям, найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Указание.Интегралы вида
где P(x) – многочлен, следует находить, применяя последовательно формулу интегрирования по частям столько раз, какова степень многочлена.
Иногда после двукратного применения формулы интегрирования по частям, получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл, таким образом, получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.
К таким интегралам относятся:
и другие.
а) Найти интеграл
Т. е. получили уравнение относительно искомого интеграла
Откуда
Задание 8.4.Найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.