ЛАБ MAPLE ИС / лаб 09-5-ряды Фурье-задание

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7-5. РЯДЫ ФУРЬЕ (задание)

Ряд Фурье для функции на промежутке определяется согласно равенству .

Коэффициенты разложения равны: .

Процедура разложения в ряд Фурье:

> Fourier:=proc(f,VarAndRange,n)

local l,i,t,a,b,A,B,s,Res;

if type(VarAndRange,equation)=false then print ("Wrong range");

else s:=lhs(VarAndRange);

a:=lhs(rhs(VarAndRange));

b:=rhs(rhs(VarAndRange));

l:=(b-a)/2;

Res:=1/(2*l)*int(f(t),t=a..b);

for i from 1 to n do A[i]:=1/l*int(f(t)*cos(Pi*t*i/l),t=a..b);

B[i]:=1/l*int(f(t)*sin(Pi*t*i/l),t=a..b);

Res:=Res+A[i]*cos(Pi*i*s/l)+B[i]*sin(Pi*i*s/l);

end do;

Res;

fi;

end proc:

Параметрами процедуры являются: раскладываемая в ряд функция f; равенство, определяющее переменную и интервал разложения VarAndRange; количество членов ряда п. В начале процедуры выполняется проверка второго параметра на предмет соответствия типов. Если диапазон введен правильно, то локальной переменной s присваивается имя переменной, расположенной в левой части равенства VarAndRange. Переменной а присваивается левый конец промежутка, на котором раскладывается в ряд функция, а переменной b – правый конец этого интервала.

Переменная l равна половине длины интервала, а начальное значение переменной Res принимается равным а₀ . Далее в рамках оператора цикла вычисляются остальные коэффициенты разложения. Они прибавляются к переменной Res в том количестве, какое задано переменной п.

Пример. Разложить в ряд Фурье на промежутке функцию .

> f:=x->x;

> Fourier(f,x=-Pi..Pi,5);

Построим график исходной функции и ее разложения в ряд Фурье, где удержано 5 членов ряда:

> plot([Fourier(f,x=-Pi..Pi,5),x],x=-2*Pi..2*Pi,-4..4,color=[RED,BLUE],

linestyle=[SOLID,DASH],thickness=[1,2],title="Function & its Fourier series",titlefont=[HELVETICA,15]);

Теперь улучшим приближение, взяв 25 членов ряда:

> plot([Fourier(f,x=-Pi..Pi,25),x],x=-2*Pi..2*Pi,-4..4,color=[RED,BLUE],

linestyle=[SOLID,DASH]),thickness=[1,2];

ЗАДАНИЯ

1. Выполнить разложение в ряд следующих функций. Для распечатки разложения брать первое число членов ряда, указанное в таблице; для построения графика – второе.

№	Функция	Промежуток	Число членов ряда	Дополнительный параметр при построении графика
1		; -1, 1	5; 25
2	signum(x);		5, 25
3	piecewise(x<=1, x, 1<x and x<3, 4-0.4*x^2, 2)	0, 2	3, 15	discont=true
4	2х	-2, 2	5, 10
5	2х	-2, 2	3, 10
6		-3, 3	10, 5
7	piecewise(x<0, -x, x=0, 0, x)	-3, 3	5
8		1, 3	3, 10
9		-2, 2	5
10		; -1, 1	5
11	floor(x) (целая часть числа)	-3, 3	5	discont=true

2. Составить процедуры для разложения в ряд Фурье по косинусам и синусам. Соответствующие формулы:

, ; , .