ЛАБ MAPLE ИС / лаб 09-2-ряды Даламбер-задание

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7-2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

ЧАСТЬ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДОВ НА СХОДИМОСТЬ

1. Необходимое условие сходимости ряда. Чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность общих членов ряда стремилась к нулю: . Если это условие не выполнено, ряд расходится.

Исследовать на сходимость ряд с общим членом . Зададим последовательность членов ряда:

> a:=n->n/(n+1);

> Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);

Т.к. предел не равен нулю, данный ряд расходится.

2. Признак Даламбера. Ряд сходится, если . Исследуем ряд с общим членом .

> a:=n->n!/(n^n);

Необходимый признак сходимости выполняется. Проверим достаточный признак сходимости Даламбера.

> Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);

> Limit('a(n+1)'/'a(n)',n=infinity)=limit(a(n+1)/a(n),n=infinity);

Проверим, меньше ли это значение, чем 1. Для этого определим знак разности между правой частью rhs() последнего равенства и единицей:

> sign(evalf(rhs(%)-1));

Минус единица означает, что разность отрицательна, следовательно, число меньше единицы. Ряд сходится.

3. Процедура исследования рядов по признаку Даламбера

Сначала проверяется необходимое условие сходимости: предел общего члена ряда lim должен быть равен нулю. Если оно не выполняется, то ряд расходится, выводится сообщение "расходится по необходимому признаку". Если необходимое условие сходимости ряда выполнено, то проводится исследование по признаку Даламбера: . При этом, если вычисляемый предел lim1 меньше 1, то ряд сходится, если больше 1, то расходится по признаку Даламбера. Сравнение переменной lim с 0 производится с помощью переменной eps. В каждом случае выводятся соответствующие сообщения. В случае, когда lim1 равен 1, выводится сообщение о необходимости дополнительного исследования (признак не работает).

Аргументом процедуры является общий член ряда - это оператор, т.е. a(n) является функцией n; ее нужно задавать как функцию. В теле процедуры используются локальные переменные: n, lim, lim1, elim, elim1, eps - для технических нужд и Res - строковая переменная для записи результата. Переменной среды Digits присвоено значение 15 (по умолчанию равно 10).

> TestDalamber:=proc(a) local n,eps,lim,lim1,elim,elim1,Res;

Digits:=30;

eps:=0.0001;

lim:=limit(a(n),n=infinity); elim:=evalf(lim);

print(Limit(a(n),n=infinity)=elim);

lim1:=limit(a(n+1)/a(n),n=infinity);

elim1:=evalf(lim1);

print(Limit(a(n+1)/a(n),n=infinity)=elim1);

if abs(elim)>eps

then Res:="Rasxoditsja po neobxodimomu priznaku";

elif elim1>1

then Res:="Rasxoditsja po Dalamberu";

elif elim1<1

then Res:="Sxoditsja po Dalamberu";

else Res:="Neobxodimo dopolnitelnoe issledovanie";

fi;

Res;

end proc:

Упражнения.

1. Изучите текст программы. Сообщения напишите на русском языке.

2. Исследуйте на сходимость следующие ряды:

1) (сходится по Даламберу); 2) (расходится по необходимому признаку);

3) (сходится по Даламберу); 4) (расходится по необходимому признаку);

5) (сходится по Даламберу); 6) (необходимо дополнительное исследование);

7) (расходится по необходимому признаку); 8) (сходится по Даламберу);

9) (необходимо доп. исследование); 10) (расходится по необходимому признаку);

11) (расходится по необходимому признаку).

3. Напишите процедуру исследования рядов с помощью радикального признака Коши. В этом случае , все остальное может остаться таким же. При желании усовершенствуйте процедуру. Исследуйте 5 рядов из приведенного выше списка, используя новую процедуру.