Вопрос 6. Конъюнкция. Правила вывода относящиеся к конъюнкции.

Конъюнкция – логическое умножение.

Для обозначения конъюнкции применяют различные символы. Это может быть знак &, AND. Но чаще всего для обозначения конъюнкции используют символ ^. Запомнить довольно просто — конъюнкция истинна только в одном случае — когда оба исходных высказывания истинны.

7. Импликация. Парадоксы материальной импликации, правила вывода относящиеся к импликации.

Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Примеры импликаций:

– «Если идет дождь, то земля является мокрой»,

– «Если день, то светло»,

– «Если все греки люди и все люди смертны, из этого логически следует, что все греки смертны».

Все импликации можно разделить на три вида:

– стандартные импликации, для которых выполняется принцип «всякое высказывание имплицирует само себя»;

– нестандартные импликации, для которых выполняется принцип «неверно, что всякое высказывание имплицирует само себя»;

– промежуточные импликации, для которых не выполняется ни принцип «каждое высказывание имплицирует само себя», ни принцип «Неверно, что каждое высказывание имплицирует само себя».

Парадоксы импликации — это парадоксы, возникающие в связи с содержанием условных утверждений классической логики. Главная функция этих утверждений — обоснование одних утверждений ссылкой на другие.

В классической логике условное утверждение имеет форму «Если A, то B». Оно ложно только в том случае, если A истинно, а B ложно, и истинно во всех остальных случаях. Содержание утверждений A и B при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

Так истолкованное условное утверждение носит название «материальной импликации». Оно обладает следующими особенностями:

• Если B истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности A. То есть истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег белый» является истинным.

• Если A ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности B. То есть с помощью ложного утверждения можно обосновать всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег красный» является истинным.

• Если A является противоречивым (тождественно ложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности B. То есть из противоречивого утверждения можно вывести всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно четырём и дважды два не равно четырём, то Луна сделана из зелёного сыра» является истинным.

• Если B является тавтологией (то есть утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности A. То есть логические законы следуют из любых утверждений. Пример: утверждение «Если снег белый, то дважды два равно четырём или дважды два не равно четырём» является истинным.

Эта особенность материальной импликации является прямым следствием двух основных допущений классической логики:

Всякое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано;

Истинностное значение сложного утверждения зависит только от истинностных значений входящих в него простых утверждений, а также от характера связи между ними, и не зависит от их содержания.

В рамках этих двух допущений более удачное построение условных утверждений невозможно.

Ясно, что материальная импликация плохо выполняет свою функцию обоснования. Подобное положение дел, отстаиваемое классической логикой, получило название «парадоксов материальной импликации».

С целью решения этих парадоксов в 1912 году американский логик К. Льюис предложил заменить материальную импликацию так называемой «строгой импликацией», которая как-то отражает связь простых утверждений, составляющих условное утверждение, по смыслу. Правда, потом оказалось, что строгая импликация сама не свободна от парадоксов. Поэтому в 1950-е годы немецкий логик В. Аккерман и американские логики А. Андресон и Н. Белнап предложили другой вариант условной связи — «релевантную импликацию», — которая разрешает не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Этой импликацией можно связывать только те утверждения, которые имеют общее содержание.

Вывод. Достаточным для некоторого явления считается такое условие, наличие которого непременно вызывает это явление, а необходимым для некоторого явления считается условие, без которого данное явление не имеет места.

Вопрос 8. Умозаключение. Виды умозаключений. Понятие логического следования. Дедуктивное умозаключение. Непосредственные умозаключения (превращение, обращение, контрапозиция). Умозаключение по логическому квадрату.

Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, то есть новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства.

Например, если мы имеем суждение «Все углы треугольника равны», то мы можем путем умозаключения доказать, что в этом случае справедливо суждение «Этот треугольник равносторонний».

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Виды умозаключений

Все умозаключения принято делить на виды по различным основаниям:

• по составу,

• по количеству посылок,

• по характеру логического следования,

• по степени общности знаний в посылках и заключении.

По составу все умозаключения делятся на простые и сложные. Простыми называются умозаключения, элементы которых не являются умозаключениями. Сложными называют умозаключения, состоящие из двух или более простых умозаключений.

По количеству посылок умозаключения делятся на непосредственные (из одной посылки) и опосредованные (из двух и более посылок).

По характеру логического следования все умозаключения делятся на:

• необходимые (демонстративные)

• правдоподобные (недемонстративные, вероятные).

Необходимые умозаключения- такие, в которых истинное заключение обязательно следует из истинных посылок (т. е. логическое следование в таких выводах представляет собой логический закон). К необходимым умозаключениям относятся все виды дедуктивных умозаключений и некоторые виды индуктивных («полная индукция»).

Правдоподобные умозаключения- такие, в которых заключение следует из посылок с большей или меньшей степенью вероятности. Например, из посылок: «Студенты первой группы первого курса сдали экзамен по логике», «Студенты второй группы первого курса сдали экзамен по логике» и т. п. следует «Все студенты первого курса сдали экзамен по логике» с большей или меньшей степенью вероятности (что зависит от полноты наших знаний обо всех труппах студентов первого курса). К правдоподобным умозаключениям относятся индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивное умозаключение(от лат. deductio - выведение) - такое умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Путем дедукции получаются достоверные выводы: если истинны посылки, то будут истинны и заключения.

Пример:

Если человек совершил преступление, то он должен быть наказан.

Петров совершил преступление. Петров должен быть наказан.

Индуктивное умозаключение(от лат. inductio - наведение) - такое умозаключение, в котором переход от частного знания к общему осуществляется с большей или меньшей степенью правдоподобности (вероятности).

Например:

Кража - уголовное преступление.

Грабеж - уголовное преступление.

Разбой — уголовное преступление.

Мошенничество - уголовное преступление.

Кража, грабеж, разбой, мошенничество - преступления против собственности.

Следовательно, все преступления против собственности – уголовные преступления.

Поскольку в основу данного заключения положен принцип рассмотрения не всех, а лишь некоторых предметов данного класса, то умозаключение называется неполной индукцией. В полной индукции обобщение происходит на основе знаний всех предметов исследуемого класса.

В умозаключении по аналогии (от греч. analogia - соответствие, сходство) на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам. Например, на основе сходства способов совершения преступлений (кражи со взломом) можно сделать предположение о том, что эти преступления совершались одной и той же группой преступников.

Все виды умозаключений могут быть правильно построенными и неправильно построенными.

Непосредственные умозаключения

Непосредственные умозаключения- такие, в которых заключение выводится из одной посылки. Например, из суждения «Все адвокаты - юристы» можно получить новое суждение «Некоторые юристы - адвокаты». Непосредственные умозаключения дают нам возможность выявить знание о таких сторонах предметов, которое уже содержалось в исходном суждении, но не было явно выражено и явно осознано. В этих условиях мы делаем неявное - явным, неосознанное - осознанным.

К непосредственным умозаключениям относятся: превращение, обращение, противопоставление предикату, умозаключение по «логическому квадрату».

Превращение- такое умозаключение, в котором исходное суждение преобразуется в новое суждение, противоположное по качеству, и с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения.

Чтобы превратить суждение, надо изменить его связку на противоположную, а предикат - на противоречащее понятие. Если посылка выражена не в явной форме, то надо преобразовать ее в соответствии со схемами суждений А, Е, I, О.

Если посылка записана в форме суждения «Не все S суть Р» , то его надо преобразовать в частноотрицательное: «Некоторые S не суть Р».

Пример:

Все студенты первого курса изучают логику.

Ни один студент первого курса не изучает не логику.

Обращение- такое непосредственное умозаключение, в котором происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Обращение подчиняется правилу распределенности терминов: если термин не распределен в посылке, то он не должен быть не распределен и в заключении.

Если обращение ведет к изменению исходного суждения по количеству (из общего исходного получается новое частное суждение), то такое обращение называется обращением с ограничением; если обращение не ведет к изменению исходного суждения по количеству, то такое обращение является обращением без ограничения.

Пример:

Все адвокаты - юристы.

Некоторые юристы - адвокаты.

Противопоставление предикату.

Как было показано, в выводе, полученном посредством превращения, устанавливается отношение субъекта к понятию, противоречащему предикату исходного суждения (S к не-Р). С помощью обращения устанавливается отношение предиката к субъекту (Р к S). Для выяснения отношения понятия, противоречащего предикату, к субъекту исходного суждения (не-Р к S) используются умозаключения, полученные посредством противопоставления предикату. Субъектом суждения в этих умозаключениях является не предикат исходного суждения, как в обращении, а понятие, противоречащее предикату.

Преобразование суждения, в результате которого субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом – субъект исходного суждения, называется противопоставлением предикату.

Заключение, полученное посредством противопоставления предикату, зависит от количества и качества исходного суждения.

Общеутвердительное суждение преобразуется в общеотрицательное. Например: “Все врачи имеют медицинское образование. Следовательно, ни один не имеющий медицинского образования не является врачом”

Умозаключение по «логическому квадрату.

«Логический квадрат» - это схема, выражающая истинностные отношения между простыми суждениями, имеющими один и тот же субъект и предикат. В данном квадрате вершины символизируют известные нам по объединенной классификации простые категорические суждения: А, Е, О, I. Стороны и диагонали можно рассматривать как логические отношения между простыми суждениями (кроме эквивалентных). Так, верхняя сторона квадрата обозначает отношение между А и Е - отношение противоположности; нижняя сторона -отношение между О и I - отношение частичной совместимости. Левая сторона квадрата (отношение между А и I) и правая сторона квадрата (отношение между Е и О) - отношение подчинения. Диагонали обозначают отношения между А и О, Е и I, которые называются противоречием.

Отношение противоположности имеет место между суждениями общеутвердительными и общеотрицательными (А-Е). Сущность этого отношения состоит в том, что два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Поэтому если одно из противоположных суждений истинно, то другое непременно ложно, но если одно из них ложно, то о другом суждении еще нельзя безоговорочно утверждать, что оно истинно, - оно неопределенно, т. е. может оказаться как истинным, так и ложным. Например, если истинно суждение «Всякий адвокат является юристом», то противоположное ему суждение «Ни один адвокат не является юристом» будет ложно.

Отношение частичной совместимости имеет место между суждениями частноутвердительными и частноотрицательными (I - О). Такие суждения не могут быть одновременно ложными (по крайней мере одно из них истинно), но могут быть одновременно истинными. Например, если ложно суждение «Иногда можно опаздывать на урок», то суждение «Иногда нельзя опаздывать на урок» будет истинным. Но если одно из суждений истинно, то другое суждение, находящееся с ним в отношении частичной совместимости, будет неопределенным, т.е. оно может оказаться как истинным, так и ложным. Например, при истинности суждения «Некоторые люди изучают логику» суждение «Некоторые люди не изучают логику» будет истинным или ложным. Но при истинности суждения «Некоторые атомы делимы» суждение «Некоторые атомы не являются делимыми» будет ложным.

Отношение подчинения существует между общеутвердительными и частноутвердительными суждениями (А-I), а также между общеотрицательными и частноотрицательными суждениями (Е-О). При этом А и Е являются подчиняющими, а I и О - подчиненными суждениями.

Отношение подчинения состоит в том, что из истинности подчиняющего суждения обязательно следует истинность подчиненного суждения, но обратное необязательно: при истинности подчиненного суждения подчиняющее будет неопределенным - оно может оказаться как истинным, так и ложным.

Но если подчиненное суждение ложно, то подчиняющее будет тем более ложным. Обратное опять-таки необязательно: при ложности подчиняющего суждения подчиненное может оказаться как истинным, так и ложным.

Знание зависимости истинности или ложности одних суждений от истинности или ложности других суждений помогает делать правильные выводы в процессе рассуждения.