Федоров

2.

3.

22

Таблица 4.4

23

Продолж. табл. 4.4

24

Продолж. табл. 4.4

Практическое занятие № 5

Тема: Решение задач диагностирования при помощи алгебры событий. Цель занятия: Повторение законов алгебры событий для выбора минимального набора параметров в задачах диагностики со-

стояния ТС

Время занятий: 4 часа.

Краткие теоретические сведения.

Законы алгебры событий для дизъюнкции, конъюнкции и отрицания

Формулой алгебры событий называется выражение, состоящее из обозначений событий, знаков функции алгебры событий (например: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание) скобок и знаков равенства.

Правила для написания формул алгебры событий:

a)Внешние скобки не пишутся

b)Знак конъюнкции связывает переменные сильнее, чем знак дизъюнк-

ции.

c) Если над группой переменных стоит знак отрицания, то необходимость брать в скобки эту группу отпадает.

Y = [(X1X 2 ) (X1X 3 )]= X1 X 2 X1 X 3

Каждая формула выражает некоторую функцию алгебры событий. Одна и та же функция алгебры событий может быть выражена разными (эквивалентными) формулами:

25

Составляем таблицу истинности:

Мы можем убедиться, что обе функции (Y1 и Y2) одинаковы и тогда имеем две эквивалентные формулы.

Переместительный закон

Сочетательный закон

(X X ) X = X (X X )= X X X .

141 42443 11442443 1 2 3

Убедимся в справедливости последних выражений, построив таблицу истинности

Y1 и Y2 – одинаковые, следовательно выражения справедливы.

Для конъюнкции:

X1(X 2 X 3 )=(X1X 2 )X 3 = X1X 2 X 3.

Распределительный закон

1) Распределительный закон конъюнкции относительно дизъюнкции

X1(X 2 X 3 )= X1 X 2 X1 X 3

Проверить можно составлением таблицы истинности.

2) Распределительный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

X X X = (X X )(X X )

1142432 141 442241443

26

Докажем, составив таблицу истинности:

Закон идемпотентности

Теорема Деморгана

Пусть некоторая функция задана формулой, содержащей операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Тогда выражение для отрицания этой функции и может быть получено если в указанной формуле заменить аргументы на их отрицание, операции дизъюнкции на операции конъюнкции, а операции конъюнкции на операции дизъюнкции.

ϕ(X1, X 2 ,...., X n , , )= ϕ(X1, X 2 ,....X n , , )

Y = X1X 2 ; Y = X1 X 2 = X1 X 2

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма представления функции алгебры событий (СДНФ)

Зная таблицу истинности, можно представить функцию в виде формулы. Пусть нам дана некоторая таблица истинности. Надо написать формулу:

Y = ϕ(X1, X 2 , X 3 )

Таблица истинности имеет вид:

27

Правило:

1.Выделим те строки в таблице истинности для которых функция равна единице (Y=1).

2.Для каждой из выделенных строк составим конъюнкцию аргументов, чтобы в конъюнкцию аргумент входил с отрицанием, если в данной строке он равен нулю, и без отрицания если он равен единице.

3.Соединим полученные конъюнкции знаками дизъюнкции. Полученное выражение представляет данную функцию алгебры событий и называется совершенной дизъюнктивной формой

Y = X1X 2 X3 X1 X 2 X3 X1X 2 X3 X1X 2 X3.

Любая функция алгебры событий может быть представлена с помощью функции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Эти три функции являются полной группой функций.

Совершенная коньюктивная нормальная форма представления функции алгебры событий (СКНФ)

Воспользуемся тем же примером (предыдущее таблицей).

1.Выделим все строки для которых функция равна нулю (Y = 0).

2.Для каждой из выделенных строк составим дизъюнкции, в которую аргумент входит с отрицанием, если в данной строке он равен единице, и без отрицания, если он равен нулю.

3.Полученные дизъюнкции соединяем знаками конъюнкции.

Полученные выражения называются СКНФ

Y = (X1 X 2 X 3 )(X1 X 2 X 3 )(X1 X 2 X 3 )(X1 X 2 X 3 )

Эта формула эквивалентна СДНФ.

Есть правила упрощения формул алгебры событий.

28

Методы минимизации формул алгебры событий

Это такое упрощение, чтобы формула содержала меньше операций. Минимизация идет в направлении уменьшения числа переменных,

входящих в формулу.

Итак, под минимизацией формулы алгебры событий понимаются методы позволяющие получить формулы с минимальным числом входящих в них переменных.

Метод поглощения:

1.X1 X1X 2 = X1(1 X 2 )= X11 = X1;

2.X1 X 2 X1 X 2 X 3 = X1 X 2 (1 X 3 )= X1 X 2 .

Меньшая конъюнкция поглощает большую, если входит в нее. Рангом конъюнкции называется число вхождения в нее переменных. X – конъюнкция 1-го ранга.

X1, X 2 ,....X n – конъюнкция n-го ранга

Рассмотрим 2 конъюнкции: (r-k)-го и r-го ранга.

Pr-k ; Pr; пусть первая конъюнкция полностью содержится во второй, тогда:

Pr−k Pr = Pr−k Pr−k Pr = Pr−k (1 Pr )= Pr−k

Пример № 1. Пусть некоторый участок электрической схемы имеет вид:

К1

К1 К2

К1 К2

К1 – событие, заключающееся в подаче питания на обмотку реле К1; К2 – событие, заключающееся в подаче питания на обмотку реле К2. Выразим событие замыкания цепи (Y) через события К1 и К2.

Y = K1 K1K2 = K1

т.е. замыкание цепи не зависит от К2.

Метод склеивания

Рассмотрим 2 конъюнкции Pr′ и Pr ″ ранга r. Пусть они отличаются друг

от друга только тем, что в первой конъюнкции некоторая переменная X входит без отрицания, а во вторую – с отрицанием, т. е.:

29

Пример № 2.

X1 X 2 X 3 X1 X 2 X 3 = X1X 2 ;

X1 X 2X3 X1 X 2X3 = X1

1 1

X X

Пример № 3. Пусть некоторый участок электрической схемы имеет вид:

Если Y – замыкание цепи, то

Y = K1K2 K1 K2 = K1.

Метод «неполного склеивания»

X1 X 2 X 3 X1 X 2 X 3 X1 X 2 X 3 = X1 X 2 X1 X 2 X 3 =

= X1 X 2 X1 X 2 X 3 X1 X 2 X 3 =(т. к. _ X1 X 2 _ поглотит_ X1 X 2 X 3 )=

Неполное X1 X 2 X1 X 3

Неполное склеивание двух конъюнкций представляет их склеивание при сохранении одной из исходных конъюнкций, т.е.

Pr−1 X Pr−1 X = Pr−1 Pr−1 X = Pr−1 Pr−1 X

Неполное склеивание применяется, если одна из конъюнкций может быть склеена с последующими конъюнкциями.

Рассмотренные 3 метода применяются в минимизации формул алгебры событий.

Полные группы функций алгебры событий

Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание составляют полную группу функций, т. к. это набор функций алгебры событий, с помощью которых можно выразить любую функцию алгебры событий.

Практическое значение: унификация сложных электрических схем. ( , , )– полная группа функций алгебры событий

X1 X 2 = X1 X 2 = X1 X 2

Следовательно, конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание, т. е. вместо схемы «И» можно собрать схему из дизъюнктеров и инверторов.

30

Пример № 4.

X1

И Y

X2

X1 НЕ

ИЛИ НЕ Y

X2 НЕ

Эти две схемы – эквивалентны.

Схема усложняется, но можно утверждать, что группа функций ( , ) – является полной группой функций алгебры событий

X1 X 2 = X1 X 2 = X1 X 2

следовательно, ( , )– полная группа функций алгебры событий.

Функция Шейкера:

Y = X1 X 2 = X1 / X 2

Эта функция является полной группой функций алгебры событий.

X1 & Y

X2

a)X / X = XX = X – получили отрицание;

b)(X1 / X1 )/(X 2 / X 2 )= X1 / X 2 = X1 X 2 = X1 X 2 – (логическое сложе-

ние);

Отрицание и дизъюнкция – это полные группы, следоаательно функция Шейкера так же является полной группой, имея ее можно построить любую схему. Иногда эту функцию называют функцией «И-НЕ».

Это функция Шейкера. Из таких элементов можно собрать любую схему.

31