Числовая последовательность

Под числовой последовательностью x₁, x₂, x₃, …, x_n, … понимается функция ^, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х_n} или х_n, n  N. Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x₂ – вторым,..., х_n – общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена. Формула позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

,,,,n  N

задают соответственно последовательности

;;

;.

Последовательность {х_n} называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого n  N выполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности у_n и u_n ограничены, а ν_n и z_n – неограничены.

Последовательность {х_n} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство х_n+1 > х_n (х_n+1 ≥ х_n).

Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности ν_n, у_n и u_n монотонные, а z_n – не монотонная.

Если все элементы последовательности {х_n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа  найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство x_n - a   .

В этом случае пишут илих_n → а при n → и говорят, что последовательность {х_n} имеет предел, равный числу а (или х_n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х_n} сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

  0 :  n   x_n  a    .

Геометрический смыслопределения предела последовательности.

Неравенство x_n - a   равносильно неравенствам – ε < х_n – а < ε

или а – ε < х_n < а + ε, которые показывают, что элемент х_n находится в

ε-окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения х_n, для которых n > N, попадут в ε-окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность .

Постоянная последовательность х_n = с, n  N имеет предел, равный числу с, т.е. .

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности {х_n}, {у_n} и {z_n}.

Теорема 1. Если ,и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенствох_n ≤ у_n, то а ≤ b.

Теорема 2. Если ,и справедливо неравенствох_n ≤ z_n ≤ у_n (начиная с некоторого номера), то .