Вопросы для самопроверки

1. Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2. Чем отличаются координаты двух точек, симметричных относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?

3. Как вычислить расстояние между двумя точками?

4. Напишите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.

5. Напишите формулы для координат точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин.

6. Дайте определение уравнения линии на плоскости.

7. Как найти координаты точки пересечения двух линий на плоскости, заданных своими уравнениями?

8. Чем отличается уравнение прямой в декартовых координатах от уравнений других линий?

9. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

10. Как выглядит условие параллельности и перпендикулярности двух прямых?

11. Напишите уравнение прямой, проходящей: а) через заданную точку в заданном направлении; б) через две заданные точки.

12. Как написать уравнение медианы, высоты в треугольнике, если известны координаты его вершин?

13. Сформулируйте определения эллипса, гиперболы, параболы. Каковы канонические уравнения этих линий?

14. Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы, и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?

Тема 2 линейная алгебра

Литература [1], [2],[7],[17],[19],[21],[22].

Матрицы

Определение.Матрицей размераmn, гдеm- число строк,n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаютсяa_ij, гдеi- номер строки, аj- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение.Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называетсяквадратной.

Определение.Матрица вида:

=E,

называетсяединичной матрицей.

Определение. Квадратная матрица виданазываетсядиагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Определение.Суммой (разностью)матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij=a_ijb_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления)матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =АВ

А() =АА

Пример.Даны матрицы А = ;B= . Найти 2А + В.

Решение. 2А=, 2А + В =.

Определение.Произведениемматриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB=C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример. Найти произведение матриц А =и В =.

Решение. АВ == =.

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = =21.