Признак существования предела последовательности

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса).Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Предел функции в точке

Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х₀ (или при х → х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, n  N (х_n ≠ х₀), сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функцииf(х_n), n  N, сходится к числу А (т.е. ).

В этом случае пишут илиf(х) → А при х → х₀. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точекх, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Односторонние пределы

В определении предела функции считается, чтох стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем x₀ (слева от х₀); большим, чем х₀ (справа от х₀); или колеблясь около точки x₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у = f(х) слева в точке х₀, если для любого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при х  (x₀ – δ; x₀), выполняется неравенство . Предел слева записывают так:или коротко:f(х₀ – 0) = А₁ (обозначение Дирихле).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(х₀ + 0) = A₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и обаодносторонних предела, причем А = А₁ = А₂.

Справедливо и обратное утверждение:

если существуют оба предела f(х₀ – 0) и f(х₀ + 0) и они равны, то существует предел А = иА = f(х₀ –0) = f(х₀ + 0).

Если же А₁ ≠ А₂, то не существует.

Предел функции при X → 

Пусть функция у = f(х) определена в промежутке (–; ).

Число А называется пределом функции f(х) при х → , если для любого положительного числа ε существует такое число М = М(ε) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > М выполняется неравенство

| f(х) – А| < ε.

Записывают илиf(х) → А при х → .

Коротко это определение можно записать так:

Если x → +, то пишут еслиx → –, то пишут .

Геометрический смысл этого определения таков:

Для что прих  (– ; –М) или х  (M; + ) соответствующие значения функции f(х) попадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А + ε и у = А  ε.

Бесконечна большая функция (б.Б.Ф.)

Функция у = f(х) называется бесконечно большой при х → х₀, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х≠х₀, удовлетворяющих неравенству |х – х₀|<δ, выполняется неравенство | f(x)| > M. Записывают илиf(х) →  при х → х₀.

Коротко:

Например, функция у = есть б.б.ф. при х → 2.

Если f(x) стремится к бесконечности при х → х₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то.

Функция у = f(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х → , если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N(М) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > N, выполняется неравенство  f(х)  > M. Коротко:

Например, у = 2^х есть б.б.ф. при х → .

Если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. х  N, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, что всякая б.б.ф, в окрестности точки х₀ является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у = хsin х.)

Однако, если где А – конечное число, то функция f(х) ограничена в окрестности точки x₀.