Правила дифференцирования

1. 

2. в частности,

3. в частности,

4. , если у =,;

5. , еслии.

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

Пример 7. Найти производную функции у =.

Решение:у' =.

В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

Пример 8.Найти производную функции

Решение:

Пример 9. Найти производную функцииу = cos 2x.

Решение: (cos 2x)¢ = - sin 2x × (2x)¢ = - 2sin 2x.

Пример 10.Найти производные функций:

1) y = arccos x²; 2)y =x× arctg x.

Решение:

1) (arccos x²)¢ =

2) (x× arctg x)¢ = x¢× arctg x + x × (arctg x)¢ = arctg x +

Пример 11. Найти производную функцииу = cos(ln³2x).

Решение:у'=

.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом:у = cos u, u = t³, t = ln z, z = 2x. Производную сложной функции найдем по правилу(здесь промежуточных аргументов три):

.

Окончательно .

Производные высших порядков Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у' = f '(х)функцииу = f (x)есть также функция отхи называется производной первого порядка.

Если функция f '(х)дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначаетсяу"(илиf ¢¢(x),,,). Итак,

у" = (y¢ )¢.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'"(илиf¢¢¢(x),, …). Итак,у'" = (y¢¢)¢.

Производной n -го порядка (илиn-й производной) называется производная от производной (n - 1) порядка: у⁽ⁿ⁾= (y^{(n – 1)})¢.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у ^Vили у⁽⁵⁾- производная пятого порядка).

Пример 12.Найти производную 13-го порядка функцииу = sin x.

Решение:у' = (sin x)¢ = cos x = ,

у" = (y¢)¢ = (cos x)¢ = - sin x = ,

у'" = (y¢¢)¢ = (- sin x)¢ = - cos x = ,

……………………

у⁽¹³⁾=

Механический смысл производной второго порядка

Вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. =V¢ = а.

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f(х)задана неявно в виде уравненияF(х; у)= 0.

Продифференцировав это уравнение по хи, разрешив полученное уравнение относительноу', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав похпервую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдутх,уиу'. Подставляя уже найденное значениеу'в выражение второй производной, выразимy”черезхиу.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 13. Найти, еслих² + y²= 1.

Решение:Дифференцируем уравнениех² + y² – 1= 0 по х:

2x + 2y × y¢= 0.

Отсюда

.

Далее имеем:

у”=,

т.е.

у”=,

(т.к. х² + y² = 1),следовательно,

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется средней скоростью изменения функции, скоростью изменения функции?

2. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

3. Чему равна производная от постоянной величины? от аргумента?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

5. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

6. Приведите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

7. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования.

8. Приведите формулу дифференцирования обратной функции.

9. Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции.

10. Что называется производной второго порядка? Каково механическое истолкование производной второго порядка?