Доверительный интервал

Статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка * удовлетворяет неравенству |-*| можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по * называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |-*|, то есть

 (|-*|   ) = .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве  берут число, близкое к 1 (0,95; 0,99; 0,999). Заменим неравенство |-*|   двойным неравенством, равносильным ему:

-  -*   или ^*- ^*+ .

Имеем: ( *-   +*) = .

Это соотношение означает, что вероятность того, что интервал (*-; *+) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал (*-; *+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Метод доверительных интервалов разработан американским статистиком Ю.Нейманом, исходя из идей английского статистика Р.Фитера.

Пример. Из стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц):

35,9	35,3	42,7	45,2	25,9	35,3	33,4	27,0	35,9	38,8
33,7	38,6	40,9	35,5	44,1	37,4	34,2	30,8	38,4	31,3

_{Требуется:}

_{1) получить вариационный ряд и построить полигон или гистограмму;}

_{2) вычислить выборочную среднюю, моду, медиану, отклонение, коэффициент вариации, ошибку средней;}

_{3) с надёжностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней.}

Решение:

1). Максимальное значение признака составляет 46,2ц, а минимальное – 25,9ц: х_max = 46,2; x_min = 25,9. Разница между ними составляет x_max – x_min = 46,2 – 25,9 = 20,3ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (n50) намечают 5 – 6 классов, при n50 – 8 – 9 классов.

Возьмем длину классового интервала х_i =4: х_i=. (округляем до следующего целого числа).

Получаем шесть интервалов: 24 – 28; 28 – 32; 32 – 36; 36 – 40; 40 – 44; 44 – 48 (начало первого класса не обязательно должно совпадать со значением минимальной варианты).

Определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал.

Найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

w_i = w₄ =

w_{2 =} w₅ =

w₃ = w₆ =

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

0,1 + 0,1 + 0,4 + 0,2 +0,1 + 0,1 = 1.

Тот факт, что в сумме получили единицу, подтверждает правильность вычислений.

По формуле вычислим плотностьотносительных частот вариант. Получаем:

Расположим результаты выборки в таблице:

Интервал значений удоя(ц)	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48
Частота варианты ni	2	2	8	4	2	2
Относительная частота wi	0,1	0,1	0,4	0,2	0,1	0,1
Плотность относительной частоты pi	0,025	0,025	0,1	0,05	0,025	0,025

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются классовые интервалы, а высотами – соответствующие значения плотностей относительных частот . Классовые интервалы

изображают на оси абсцисс, а значения откладывают на оси ординат.

2). Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам:

- выборочная средняя;

- дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение;

- ошибка средней;

 - коэффициент вариации.

Расчеты иs² удобно проводить с помощью таблицы.

№ п/п	Интервал значений удоя (ц)	Серединное значение интервала xi	Частота варианты ni	xini	xi-	(xi-		ni
1	24-28	26	2	52	-9,6	-19,2	92,16	184,32
2	28-32	30	2	60	-5,6	-11,2	31,36	62,72
3	32-36	34	8	272	-1,6	-12,8	2,56	20,48
4	36-40	38	4	152	2,4	9,6	5,76	23,04
5	40-44	42	2	84	6,4	12,8	40,96	81,92
6	44-48	46	2	92	10,4	20,8	108,16	216,32
			20	712		0		588,8

= 35,6, М₀ = 34 – значение варианты, имеющей наибольшую частоту; М_е = 36 – значение варианты, лежащей в середине ряда.

s² = ; s = 5,57; = 1,25.

V =  = 15,6/

Поскольку 10  V  20, то изменчивость удоев за 300 дней следует считать средней.

3). Доверительный интервал для оценки генеральной средней определяется как

,

где величина при заданной надежности определяется с помощью таблиц приложения 1. В нашем примере

Вычисляем радиус доверительного интервала:

Получаем:

35,6 – 2,6 < < 35,6 + 2,6

33 < < 38,2.

Таким образом, с надежностью 95 можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней (генеральная средняя) заключен в пределах от 33ц (гарантированный минимум) до 38,2ц (возможный максимум).