Равномерная сходимость функционального ряда

Для каждого значения x₀ из области сходимости ряда , т.е. остатоксходящегося ряда стремится к нулю при.

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некотором интервале, если он сходится для всех x из этого интервала и если для всякого числа>0 существует такое число N>0, зависящее от  и не зависящее от x. (при n > N выполняется неравенство для всех x из рассматриваемого интервала).

Для установления равномерной сходимости функционального ряда на отрезке служат и достаточные признаки равномерной сходимости. Один из них признак Вейерштрасса.

Теорема (признак Вейерштрасса)

Если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами и при этом выполняются соотношения: для всех , в котором определены члены функционального ряда , то этот ряд сходится равномерно (и абсолютно) в интервале.

В этом случае ряд ,члены которого превосходят абсолютные величины соответствующих членов ряда , называется мажорантным рядом для .

Примечание.Если сходится ряд , то можно найти такое положительное целое число (номер), не зависящее от , что при модуль будет меньше любого наперед заданного положительного числа.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

2. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательной функции. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

3. Сформулируйте признак абсолютной и равномерной сходимости ряда.

4. Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

6. Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда.

Тема 8.Векторный анализ

Литература [1], [8], [19], [20], [22], [23].

Вопросы для самопроверки

1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его коорди­натное и инвариантное определения.

2. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

3. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.

4. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.

5. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определение. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

6. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

7. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.

Тема 9. Численные методы

Литература: [5],[6],[7],[8],[22].

Вопросы для самопроверки

1. Алгоритм и их основа. Блок-схема алгоритмов. Основные типы вычислительных процессов.

2. Приближение функции многочленом по методу наименьших квадратов.

3. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная и квадратичная интерполяция. Конечные разности и их свойства.

4. Решение линейных систем методом Гаусса-Жордана. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса-Жордана.

5. Итерационные методы решения уравнений. Понятия об итерационных методах решения систем уравнений.

6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера и его модификация. Метод Рунге-Кутта.

7. Понятие о методе сеток решения краевых задач математической физики.