Замена переменных в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , гдеf(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]. Введем новую переменную в соответствии с формулойx=(t).

Тогда, если

1) () = а,() =b

2) (t) и(t) непрерывны на отрезке [,]

3) f((t)) определена на отрезке [,],

то

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u=(x) иv=(x) непрерывны на отрезке [a,b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

у

0 a-bx

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е.f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е.f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула

.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиy=x,y=x²,x= 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Вычисление длины дуги кривой

yy=f(x)

S_iy_i

x_i

abx

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

.

Т.е. .

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

Если кривая задана в полярных координатах, то

,=f().

Пример.Найти длину окружности, заданной уравнениемx²+y²=r².

Решение. Выразим из уравнения переменную у:

Найдем производную

Тогда

Тогда l= 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x) на данном отрезке

[а, b]?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции?

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.

6. В чем состоит способ подстановки для вычисления определенного интеграла?

7. Как выглядит формула интегрирования по частям для определенного интеграла?

8. Как вычислить площадь криволинейного сектора в полярных координатах?

9. Запишите формулы для вычисления длины дуги кривой в декартовых и в полярных координатах.

10. Приведите формулу для вычисления объема тела с известными площадями его поперечных сечений.

11. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.