Определенный интеграл

Литература [1], [2],[3],[7],[15],[17],[19],[20],[21],[22].

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функцияf(x).

y

M

m

0 ax_ibx

Обозначим mиMнаименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно одинаковые)nточками.

x₀<x₁<x₂< … <x_n

Тогда

x₁–x₀=x₁,x₂–x₁=x₂, … ,x_n–x_n-1=x_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁]  m₁, M₁; [x₁, x₂]  m₂, M₂; … [x_n-1, x_n]  m_n, M_n.

Составим суммы:

_n=m₁x₁+m₂x₂+ …+m_nx_n =

_n = M₁x₁ + M₂x₂ + … + M_nx_n =

Сумма называетсянижней интегральной суммой, а сумма –верхней интегральной суммой.

Т.к.

m_i  M_i, то _n  _n,

а m(b – a)  _n  _n  M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

x₀<₁<x₁,x₁<<x₂, … ,x_n-1<<x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммойдля функцииf(x) на отрезке [a,b].

S_n = f(₁)x₁ + f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n =

Тогда можно записать: m_ix_i  f(_i)x_i  M_ix_i.

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxx_i– наибольший отрезок разбиения, аminx_i– наименьший. Еслиmaxx_i 0, то число отрезков разбиения отрезка [a,b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение.Если при любых разбиениях отрезка [a,b] таких, чтоmaxx_i 0и произвольном выборе точек_iинтегральная суммастремится к пределуS, который называется определенным интегралом отf(x) на отрезке [a,b].

Обозначение: ,а– нижний предел,b– верхний предел,х– переменная интегрирования, [a,b] – отрезок интегрирования.

Определение. Если для функцииf(x) существует предел

то функция называется интегрируемойна отрезке [a,b].

Также верны утверждения:

Теорема.Если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1. 

2. 

3. 

4. Если f(x)(x) на отрезке [a,b]a<b, то

5. Если mиM– соответственно наименьшее и наибольшее значения функцииf(x) на отрезке [a,b], то:

6) Для произвольных чиселa,b,cсправедливо равенство:

7)

Вычисление определенного интеграла

Пусть в интеграле нижний предела=const, а верхний пределbизменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема.Для всякой функцииf(x), непрерывной на отрезке [a,b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема Ньютона – Лейбница.Если функцияF(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функцииf(x), то

Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение

F(b) –F(a) =F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.