Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример. . Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный инте­грал приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл f(x) dx. Сделаем подстановкуx = (t), где(t) –функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx ='(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаемформулу интегрирования подстановкой

Эта формула также называется формулой замены переменныхв неопре­деленном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрированияt назад к переменнойх.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t =(х), тогда =f(t)dt, гдеt =(х). Другими словами, форму­лу можно применять справа налево.

Пример.Найти

Замена Получаем:

.

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x)– функции, имеющие непрерывные производные. Тогдаd(uv) = udv + vdu.

Интегрируя это равенство, получим

или.

Порученная формула называется формулой интегрирования по ча­стям. Она дает возможность свести вычисление интегралаudv к вы­числению интегралаvdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и иdv (это, как правило, можно осуще­ствить несколькими способами); затем, после нахожденияv иdu, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу прихо­дится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять ме­тодом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида P(x)e^kx dx, Р(х) sin kxdx, Р(х) · coskxdx, гдеР(x)– многочлен,к –число. Удобно положитьи = Р(х), а заdv обозна­чить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида P(x)arcsinxdx, P(x)arcosxdx, P(x)lnxdx, Р(х) arctgxdx, P(x)arcctgxdx. Удобно положитьP(x) dx = dv, а заи обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида е^ах sin bxdx, е^ах  cos bxdx, гдеа иb –числа.

За u можно принять функциюи =е^ах.

Пример.

Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией(илирациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е.f(x) = ,гдеP_m(x)– многочлен степенит, aQ_n(x) — многочлен сте­пенип.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числите­ля меньше степени знаменателя, т. е.т < п; в противном случае (еслит п)рациональная дробь называетсянеправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно, пу­тем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочленаL(x) и правильной рациональной дроби, т.е.

=L(x) +.

Например, = – неправильная рациональная дробь. Раз­делим числитель на знаменатель в столбик.

Получим частное L(x) = х³+ 2х²+ 4х + 3 и

остаток R(x) = 15. Следовательно, = х³+ 2х²+ 4х + 3 + +.

Правильные рациональные дроби вида

I.

II.

III.(корни знаменателя комплексные, т.е.p²- 4q< 0);

IV., корни знаменателя комплексные),

где А, а, M,N,p,q– действительные числа, называютсяпростейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

1. (формула (2) из таблицы интегралов);

2.

(формула (1));

3. Рассмотрим интеграл J=.

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:

J=,

причем > 0. Сделаем подстановку =t. Тогдаx = ,dx = dt. Положим =а². Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем

J===

= =

= ,

т.е. возвращаясь к переменной х,

J== =.

Рассмотрим общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Пример.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной.

2. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

3. Запишите формулу интегрирования по частям.

4. Объясните правило разложения рациональной дроби на простейшие.