Вопросы для самопроверки

Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида . Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя.
Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
Дайте определение максимума и минимума функции.
Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.
Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?
Каковы достаточные признаки существования экстремума функции? Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.
Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.
Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.
Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном отрезке.
Дайте определение асимптоты кривой. Как найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?
Изложите общую схему исследования функции и построения ее графика.
Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.

Тема 5. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл

Литература [1], [2],[3],[7],[15],[17],[19],[20],[21],[22].

Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функцииf(x) на интервале (а;b), если для любого

х € (а; b) выполняется равенство

F’(x) =f(x) (илиdF(x) =f(x)dx).

Множество всех первообразных функций F(x) + С дляf(x) называетсянеопределенным интегралом от функцииf(x) и обозначается символомf(x)dx.

Здесь f(x) называетсяподынтегральной функцией, f(x)dx—подынтегральным выражением, х– переменной интегрирования, –знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функция равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF{x)= F(x) + С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, а ≠ 0 – постоянная.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если f{x)dx =F(x) + С, то иf(u)du = F(u) + С, гдеи — φ(x) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными.

Таблица основных интегралов