Экстремум функции

Значение функции в точке х_оназывается максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от х_о.

Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс , или оси ординатили нет определенной касательной (например, как в угловой точке).

Точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведение и непрерывна.

Точки, при переходе через которые аргумента х возрастание функции сменяется на убывание, являются точками максимума, а точки, при переходе через которые аргумента х убывание функции сменяется на возрастание, являются точками минимума.

Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна.

Отсюда вытекает следующее правило исследования функции на экстремум.

Чтобы найти точки экстремума функции , в которых она непрерывна, нужно:

1. Найти производную и критические точки, в которых=0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции.

2а. Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку х_о:

1) меняет знак с + на -, то х_оесть точка максимума;

2) меняет знак с - на +, то х_оесть точка минимума;

3) не меняет знака, то в точке х_онет экстремума.

Иногда проще исследовать критические точки, где , по знаку второй производной, - вместо правила 2а можно пользоваться следующим правилом:

2б. Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Если в критической точке х_о, где:

1) >0, то х_оесть точка максимума;

2) <0, то х_оесть точка минимума;

3) =0, то вопрос о наличии экстремума в точке х_оостается открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую, можно исследовать по правилу 2а.

Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значения функции в найденных точках экстремума.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз в этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.

Направление выпуклости кривой характеризуется знаком второй производной: если в некотором интервале>0, то кривая выпукла вниз, а если<0, то кривая выпукла вверх в этом интервале.

Абсциссы точек перегиба кривой , или графика функцииf(x), являются точками экстремума производной. Поэтому их можно найти по следующему правилу:

1. Найти и точки х, в которых=0 или не существует, а кривая непрерывна и которые лежат внутри области ее расположения.

2. Определить знак слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нееимеет разные знаки.

Интервалы, где кривая выпукла вверх и где она выпукла вниз, определяются из условия, что их границами могут быть только абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки области расположения кривой.