Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов

Для раскрытия неопределённостей вида часто применяют принцип замены бесконечно малых эквивалентными и свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,sinх ~ х при х → 0, tg x ~ х при х → 0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 8. Покажем, что прих → 0.

Решение: .

Пример 9. Найдем .

Решение: Обозначим arcsin х = t. Тогда х = sin t и t → 0 при х → 0. Поэтому .

Следовательно, arcsin х ~ х при х → 0.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

1. sin х ~ х, (х → 0);	6. ех – 1 ~ х, (х → 0);
2. tg х ~ х, (х → 0);	7. ах – 1 ~ х ln а, (х → 0);
3. arcsin х ~ х, (х → 0);	8. ln(1 + х) ~ х, (х → 0);
4. arctg х ~ х, (х → 0);	9. loga (1 + х) ~ х loga е, (х → 0);
5. , (х → 0);	10. (1 + х)k – 1 ~ kx, k > 0, (х → 0); в частности, .

Пример 10. Найти .

Решение: Так как tg 2х ~ 2х, sin 3х ~ 3х при х → 0,

то .

Пример 11. Найти .

Решение: Обозначим , изх → ∞ следует t → 0. Поэтому

.

Пример 12. Найти .

Решение: Так как arcsin (х – 1) ~ (х – 1) при х → 1, то

.

Непрерывность функции

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Непрерывность функции в точке, на отрезке

Пусть функция у=f(x)определена в точкех₀и в некоторой окрестности этой точки.

Функция у=f(x)называетсянепрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция f(x)определена в точкех₀и в ее окрестности;

2) функция f(x)имеет предел при;

3) предел функции в точке х₀равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство .

Так как , то равенство можно записать в виде

.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функцииf(x)можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

Например, .

Сформулируем еще одно, второе определение непрерывности функции в точке: функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если онаопределена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример13. Исследовать на непрерывность функцию.

Решение: Функцияопределена при всехR. Возьмем произвольную точкухи найдем приращение:

.

Тогда , так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф. Согласно определению, функциянепрерывна в точкех.

Функция у=f(x) называетсянепрерывной в интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=f(x) называетсянепрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале(а,b)и в точкех=а непрерывна справа(т.е.), а в точке х=b непрерывна слева (т.е.).

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Еслих=х₀ – точка разрыва функцииу=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х_{0 ,}но не определена в самой точкех₀.

Например, функция не определена в точкех₀=2.

2. Функция определена в точке х₀и ее окрестности, но не существует пределаf(x)при.

Например, функция определена в точкех₀=2, но имеет разрыв в этой точке, т.к. эта функция не имеет предела при:, а.

3. Функция определена в точке х₀и ее окрестности, существует предел, но этот предел не равен значению функции в точкех₀:.

Например, функция . Здесьх₀=0 – точка разрыва:, аq(0)=2.

Точка разрыва х₀называется точкойразрыва первого рода функцииу=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е.и. При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀называетсяточкой устранимого разрыва;

б) если, то точка х₀ называетсяточкой конечного разрыва.Величинуназываютскачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀называетсяточкой разрыва второго родафункцииу=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Для функции точках₀=2– точка разрыва второго рода.

Для функции х₀=2является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен.

Для функции х₀=0является точкой устранимого разрыва первого рода. Положивq(x)=1 прих=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.