Пример выполнения расчетной части в среде MathCad

(не является примером выполнения отчета по лабораторной работе)

Поместим в матрицу М экспериментальные данные по исследованию ферромагнетизма. В колонке 0 содержится величина воздушного зазора в мм, в колонках 1,2,3- величина напряжения на индуктивности (3 эксперимента)

Переведем величину воздушного зазора в метры

Установим начальные значения переменных необходимые для расчета

В отдельные массивы поместим значения напряжения на индуктивности

Вычислим величины индуктивностей

Зададим счетчик i для номеров строк начиная с нулевой до последней

Вычислим среднее арифметическое для индуктивностей, получим массив X :

_{Вычислим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического Sx, задав предварительно число наблюдений n :}

Подсчитаем коэффициент Стьюдента t_p, задав предварительно доверительную вероятность p :

Рассчитаем нижнюю Ngr и верхнюю Vgr границы доверительного интервала :

Для теоретического расчета зададим геометрические размеры d-толщина набора магнитопровода; l₁,l₂,l₃,l₄ – длины магнитных участков, b₁,b₂,b₃,b₄ – ширины участков.

Рассчитаем площади поперечных сечений участков магнитопровода и воздушного зазора.

Вычислим магнитные сопротивления участков магнитопровода и воздушного зазора:

Определим суммарное магнитное сопротивление цепи

Зададим функцию зависимости индуктивности катушки от величины воздушного зазора

Рисунок 1 – Зависимость индуктивности катушки от величины воздушного зазора в магнитопроводе.

Контрольные вопросы:

1. По рисунку 3.1 покажите следующий процесс: размагниченный железный стержень помещают внутрь катушки с постоянным током, затем ток выключают.

2. В высокочастотных устройствах используют катушки индуктивности с сердечниками из латуни. Почему?

3. На рисунке 3.1 покажите по кривой намагничивания как изменяется магнитная проницаемость магнитопровода.

4. Сравните индуктивности двух одинаковых катушек, с магнитопроводами одинаковой длины и поперечного сечения, но разной формы: первый в виде прямого стержня, второй в виде кольца.

Лабораторная работа №4

«Исследование резонансных явлений»

Краткие теоретические сведения

Наименование «резонанс» для режима цепи заимствовано из теории колебаний. Как известно, резонансом называется процесс вынужденных колебаний с такой частотой, при которой интенсивность колебаний резко возрастает. Но характеризовать интенсивность колебательного процесса можно по различным проявлениям, максимумы которых наблюдаются при различных частотах. Поэтому нужно условиться о критерии резонанса.

В электрической цепи колеблются заряды. Для цепей содержащих L и C, можно было бы взять за критерий резонанса максимум амплитудного значения заряда конденсатора, что соответствует максимальной амплитуде напряжения на конденсаторе. Этот критерий определяет амплитудный резонанс. Далее примем в качестве критерия режима «резонанс» в пассивных двухполюсниках, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, совпадение по фазе тока (считая, что он не равен нулю) и напряжения на входных выводах, т.е. так называемый фазовый резонанс. Ток совпадает по фазе с напряжением, если входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость двухполюсника равны нулю.

Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то в такой цепи при достаточно малом сопротивлении катушки наблюдается процесс затухающих колебаний напряжений и тока. Частота этих колебаний называется частотой собственных или свободных колебаний. Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний (они совпадают только в теоретическом случае катушки и конденсатора без потерь). Принятый здесь критерий резонанса применим и при больших потерях, при которых собственные колебания невозможны.

Явление резонанса возникает в тех случаях, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний (для этого, разумеется, какая бы ни была система, она должна быть способна совершать свободные колебания, т.е. после изначального внесения в систему какой-либо энергии она должна самостоятельно совершать колебания в течение некоторого времени).

Рисунок 4.1 – Последовательный колебательный контур

Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (см. рисунок 4.1). Такую цепь часто называют последовательным контуром или rLC-цепью. Для неё наступает резонанс при х=x_L-x_C=0 или x_L= x_C, т.е.

ωL=1/ωC (4.1)

При x_L= x_C значение противоположных по фазе напряжений на индуктивности и емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи z при х=0 минимально: z=, а ток I при заданном напряжении U достигает наибольшего значения U/r. В теоретическом случае при r=0 полное сопротивление цепи в режиме резонанса также равно нулю, а ток при любом конечном значении напряжения U бесконечно велик. Так же бесконечно велики напряжения на индуктивности и емкости.

Из условия ωL=1/ωC следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи – индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой

(4.2,а)

а частота, при которой наступает резонанс – резонансной частотой

(4.2,б)

Индуктивное и ёмкостное сопротивление при резонансе

(4.3)

Величина ρ называется характеристическим сопротивлением контура или rLC-цепи.

Отношение напряжения на индуктивном и емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой Q

U_L/U=U_C/U=ρI/rI=ρ/r=Q (4.4)

и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса.

Добротность контура указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение на входных выводах: Q>1, если ρ>r.

Сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля, и наоборот. Таким образом, наблюдается непрерывный переход энергии из электрического поля в магнитное поле и обратно.

Энергия, поступающая в контур от источника питания, в любой момент времени целиком переходит в тепло. Поэтому для источника питания контур эквивалентен одному резистивному элементу.

Предположим, что к контуру приложено синусоидальное напряжение u=U_msin ωt, амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах от 0 до ∞.

Изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а, следовательно, и полное сопротивление, а также угол φ (аргумент комплексного сопротивления). Зависимости от частоты параметров цепи назовем частотными характеристиками цепи, зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты – резонансными кривыми.

График зависимости тока от частоты показывает, что рассматриваемая цепь обладает «избирательными свойствами». Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к её резонансной частоте.

Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.

Выясним влияние параметров цепи на форму резонансной кривой I(ω). Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах:

I/I_ρ=F₁(ω_*),

где I_ρ=U/r – действующий ток при резонансе; ω_*= ω/ω₀– относительная частота.

Преобразуем выражение полного сопротивления цепи:

Разность ω_*-1/ ω_* характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение Q(ω_*-1/ ω_*)=ξ называется обобщенной расстройкой. С учетом этих обозначений сопротивление

z=r

Ток в цепи

(4.5)

Выражение (4.5) показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью Q.

Рисунок 4.2 – Резонансные кривые при разных значениях добротности контура

На рисунке 4.2 представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать Q добротностью контура. Заметим, что наибольшие достигаемые на практике значения Q контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, лежат в пределах 200-500.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура (ω_*В - ω_*Н), которую определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение I/I_p превышает 1/. На рисунке 4.2 проведена горизонтальная линия, соответствующая I/I_p=1/. Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что тем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Если рассматриваются упругие (т.е. звуковые) волны в каких-либо телах, то может иметь место резонанс в распределенных колебательных системах. Поскольку скорость звука в веществе имеет конечное значение, а также присутствует отражение звуковой волны от краев тела, то резонанс возникает в случае, если один из геометрических размеров тела равен половине длины звуковой волны в этом теле. Также резонанс возникает и на кратных частотах. Следовательно, возможно несколько резонансных частот (по длине, толщине, ширине, радиусу и т.д.) и, конечно, более крупные тела имеют более низкие резонансные частоты. При расчетах, распределенные колебательные системы часто представляют в виде колебательных систем с сосредоточенными параметрами (т.е. в виде маятника или колебательного контура). Это весьма актуально в областях, где используются колебательные системы на основе пьезоэффекта. Поскольку пьезоэффект обратим, пьезоэлемент представляет собой электромеханическую колебательную систему, в которой изменение внешних условий с механической стороны приводит к соответствующим изменениям с электрической и наоборот.

Практическая часть

Задание №1: Исследовать явления резонанса в электрических цепях.

Цель работы: Определить параметры колебательного контура резонансным методом.

Приборы и оборудование: набор элементов R, L, C (встроены в стенд), генератор сигналов низкочастотный Г3-117, вольтметр В7-26, кабели, соединительные проводники.

Порядок выполнения работы

1. Включить вольтметр В7-26 и установить его в режим измерения переменных напряжений «». Выполнить прогрев прибора в течении 15 мин.Включить прибор на предел 1В и, временно соединив между собой входы вольтметра, выполнить установку нуля «>0<» (регулятор «» установить в среднее положение, а затем регулятором «» добиться, чтобы вольтметр показывал 0В). При измерении пользуются пределами 1В, 3В, 10В, 30В, 100В.

2. Собрать электрическую цепь для исследования последовательного резонанса. Установить выходное напряжение генератора U_Г=5В.

Рисунок 4.3 – Схема установки для исследования последовательного резонанса

Рисунок 4.4 – Расчетная схема замещения последовательного колебательного контура. Схема учитывает активное сопротивление катушки (R_L=0.8Ом) и выходное внутреннее сопротивление генератора (R_Г=1Ом).

3. Снять зависимость напряжения на емкости U_Сот частоты генератора. Зависимость снимается в диапазоне частот 15-40кГц, с шагом примерно в 2кГц.Необходимо как можно точнее определить резонансную частоту контура f₀ (найти максимум напряжения U_С с помощью ручки плавной подстройки частоты).Данные занести в таблицу 4.1.

4. Определить значение добротности колебательного контура Q=U_C/U_Гпри f_Г=f₀(т.е. на резонансе)

5. Определить значения L и C по формулам:

,

,

где

R – суммарное активное сопротивление цепи.

Таблица 4.1 – Зависимость падения напряжения на конденсаторе от частоты при исследовании последовательного колебательного контура

f, Гц	UС, В

6. Собрать схему для исследования параллельного резонанса (рисунок 4.5)

Рисунок 4.5 – Схема для исследования параллельного резонанса

Рисунок 4.6 – Расчетная схема замещения параллельного резонансного контура. Схема учитывает активное сопротивление катушки (R_L=4.7Ом), выходным внутренним сопротивлением генератора (R_Г=1Ом) можно пренебречь, поскольку оно включается последовательно с резистором R=4.85кОм, который имеет гораздо более высокое сопротивление.

7. Собрать электрическую цепь для исследования параллельного резонанса. Установить выходное напряжение генератора U_Г=5В.

8. Снять зависимость напряжения на резисторе U_Rот частоты генератора. Зависимость снимается в диапазоне частот 10-20кГц, с шагом примерно в 500Гц.Необходимо как можно точнее определить резонансную частоту контура f₀ (найти минимум напряжения U_R с помощью ручки плавной подстройки частоты).Данные занести в таблицу 4.2.

9. Определить значение индуктивности L в параллельном контуре:

Таблица 4.2 – Зависимость падения напряжения на резисторе от частоты при исследовании параллельного колебательного контура

f, Гц	UR, В

Задание №2:Исследование механического резонанса

Цель работы: Определить параметры эквивалентной схемы замещения пьезорезонатора.

Приборы и оборудование: пьезорезонатор (встроен в стенд), генератор сигналов низкочастотный Г3-117, вольтметр В7-26, кабели, соединительные проводники.

Порядок выполнения работы

1. Включить вольтметр В7-26 и установить его в режим измерения переменных напряжений «». Выполнить прогрев прибора в течении 15 мин.Включить прибор на предел 1В и, временно соединив между собой входы вольтметра, выполнить установку нуля «>0<» (регулятор «» установить в среднее положение, а затем регулятором «» добиться, чтобы вольтметр показывал 0В). При измерении пользуются пределами 1В, 3В, 10В, 30В, 100В.

2. Собрать схему для исследования механического резонанса (рисунок 4.7). Установить выходное напряжение генератора U_Г=5В.

3. Снять зависимость напряжения на резисторе U_R от частоты генератора f. Зависимость снимается в диапазоне частот 30-70кГц, с шагом примерно в 2кГц. Необходимо как можно точнее определить резонансную частоту контура f_R (найти максимум напряжения U_R с помощью ручки плавной подстройки частоты) и антирезонансную частоту f_А (найти минимум напряжения U_R с помощью ручки плавной подстройки частоты). Данные занести в таблицу 4.3.

Таблица 4.3 – Зависимость падения напряжения на резисторе от частоты при исследовании пьезорезонатора

f, Гц	UR, В

Рисунок 4.7 – Схема для исследования пьезорезонатора

Рисунок 4.8 – Эквивалентная схема замещения пьезорезонатора в области частот близкой к резонансу. В данной схеме C₀обозначает статическую емкость, образованную обкладками пьезоэлемента; L_x– динамическая индуктивность (электрический аналог массы пьезоэлемента); C_x– динамическая емкость (электрический аналог податливости пьезоэлемента); R_x– динамическое сопротивление (электрический аналог коэффициента внутреннего трения пьезоэлемента). Выходным внутренним сопротивлением генератора пренебрегаем, поскольку оно гораздо меньше сопротивления резистора R.

Рисунок 4.9 – Эквивалентная схема замещения пьезорезонатора в области частот, отдаленной от резонанса. Поскольку вдали от резонанса сопротивление последовательного контура велико, то этой частью схемы можно пренебречь, т.е. пьезорезонатор, работающий не на резонансе для электрической цепи аналогичен обычному конденсатору.

4. Определить динамическое сопротивление R_x . На резонансе можно считать, что индуктивное и емкостное сопротивления взаимно уничтожаются (см. схему замещения на рисунке 4.8).

,

где

U_Rmax- напряжение на резисторе R на резонансе (т.е при f=f_R)

5. Определить статическую емкость С₀. Этот расчет выполняется на частоте, далекой от резонанса f_m(см. схему замещения на рисунке 4.9). Частоту f_mможно выбрать в начале или в конце диапазона частот, в котором была снята зависимость:

;

,

где

U_m– напряжение на резисторе R на частоте f_m.

6. Определить динамическую емкость C_x:

.

7. Определить динамическую индуктивность L_x:

.

8. Вычислить добротность пьезорезонатора:

.

9. С помощью Microsoft Word и MathSoft MathCad выполнить отчет по лабораторной работе, который должен включать:

• титульный лист

• теоретическую часть,

• задание, цель исследования, приборы и оборудование

• порядок проведения лабораторной работы, в который помещен расчет и результаты, выполненные в MathCad

• выводы по работе

Отчет сдается в распечатанном виде.