- •Тема VII. Ряды
- •Необходимый признак.
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
- •Пример 1. Доказать сходимость ряда
- •Интегральный признак Коши
- •Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно (т.Е. Из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).
- •Знакопеременные ряды.
- •Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.Е. Если выполняются следующие два условия:
- •Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда
- •Пример 2. Найти область сходимости ряда:
- •Решение.
- •Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
- •Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Решение
- •Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда
- •Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .
- •Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда
- •Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления с помощью рядов
- •1. Приближенное вычисление значений функций
- •2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •3. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Ряд Фурье
Приближенные вычисления с помощью рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
1. Приближенное вычисление значений функций
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
.
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
.
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток rn(x). Для этого применяют следующие приемы:
если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: (илиx<c<a).
Пример 1. Пользуясь разложением в ряд sinx, вычислить sin20o с точностью до 0,0001.
Решение. Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем . Подставляя это значение в формулу, получаем
Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как , то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,
.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение. Воспользуемся разложением , где(см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
.
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 53 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=53+5.
,
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
2. Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Пример 4: Вычислить интеграл с точностью до 0,00001.
Решение. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Пример 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Решение.
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
.
Следовательно, .