Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е. и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u₁, f(2)=u₂,…,f(n)=u_n,…

Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно (т.Е. Из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

Пример 1. С помощью интегрального признака Коши доказать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда определяется формулой (n=1,2,3,…). Записав в этой формуле х вместо n, получаем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши (она принимает положительные значения и убывает с возрастаниемх).

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Предел существует и конечен, значит интеграл сходится и, следовательно, сходится и данный ряд.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда определяется формулой . (заметим, что суммирование начинается сn=2, а при n=1 член ряда не определен, так как в знаменателе содержится множитель ln1=0; однако на исследование сходимости это не влияет). Из формулы общего члена ряда

находим функцию . Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел бесконечен, то интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

Пример 3. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряд:

Решение. Функция прих1 положительна, непрерывна и монотонно убывает, т.е. удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел равен конечному числу, а именно, , то интеграл сходится, значит, и данный ряд также сходится.

Пример 4. Доказать сходимость ряда

Решение. Функция прих≥1 положительна, непрерывна и монотонно убывает. Для применения интегрального признака следует рассмотреть несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл равен конечному числу, т.е. сходится, значит, и данный ряд сходится.

Замечание. Аналогичным образом рассматривается вопрос о сходимости ряда Дирихле с любым положительным значением р.

Решить:

Исследовать с помощью интегрального признака сходимость рядов:

A 1) 2)3)

4)5)6)

Исследовать на сходимость:

7)8)9)10)

11)12)13)14)

15) 16)17)18)

19) 20)21)

До сих пор рассматривались ряды с положительными членами. Обратимся теперь к рядам, члены которых имеют разные знаки.

Знакопеременные ряды.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

При исследовании знакопеременного ряда

прежде всего составляют ряд из абсолютных величин его членов, т.е.

Если ряд сходится, то сходится и сам ряд. В этом случае ряд называетсяабсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда не следует расходимость ряда.

Если ряд сходится, а рядрасходится, то рядназываетсяусловно (неабсолютно) сходящимся.

Замечание. Если расходимость ряда из абсолютных величин установлена на основании необходимого признака сходимости, т.е. , то и исходный знакопеременный ряд будет расходиться, т.к. в этом случае и.

Ряд является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки (признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши).

Пример 1. Доказать сходимость ряда.

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов исследуемого ряда:

(1)

Рассмотрим ряд вида(2)

Ряд (2) является рядом Дирихле со значением р=3>1, следовательно, сходится.

К ряду (1) применим признак сравнения: и (2) сходится(1) сходится.

Таким образом, ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, следовательно, сам заданный ряд сходится абсолютно.

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда)