Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:
(1)
(2)
Первый признак сравнения:
Если для n n0 un vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).
Если для n n0 un vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
Второй признак сравнения:
Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.
Для сравнения часто используются ряды:
1.
Ряд
(|q|
< 1), cоставленный
из членов любой
бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
является сходящимся.
2.
Ряд Дирихле
сходится при р > 1, расходится при р ≤
1
В случае p=1 имеем гармонический ряд:
.
Гармонический
ряд расходится.
Замечание
1:
Условие
второго признака сравнения выполняется,
в частности, когда величины
и
эквивалентны приn∞
(
,n∞),
т.к. в этом случае l=1.
Поэтому этот признак применяют, когда
можно пренебречь младшими степенями n
или воспользоваться таблицей
эквивалентностей (см. тему «Предел
функции»)
Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:
;
;
и т.п.
Пример
1.
Исследовать на сходимость ряд:
Решение. Общий член ряда представляет собой дробно-рациональное выражение, так что мы можем пренебречь младшими слагаемыми, получив выражение, эквивалентное данному при n→∞:
.
Ряд
вида
отличается от гармонического ряда
только постоянным сомножителем
и, следовательно, расходится.
На основании второго признака сравнения рядов заключаем, что данный ряд расходится.
Замечание: Здесь можно было использовать и первый признак сравнения, т.к.
и
ряд
расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:
Решение.
Сравним этот ряд с рядом
,
который представляет собой сумму
геометрической прогрессии со знаменателем
.
,при
n
2
и ряд
сходится
как сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, поэтому и
исследуемый ряд сходится (по первому
признаку сравнения).
Пример
3. Исследовать
на сходимость ряд:
Решение.
Известно, что при x→0
бесконечно малая функция tgx
эквивалентна x,
т.е. tgxx.
Следовательно, при n→∞
~
.
Ряд
сходится (это ряд Дирихле со значением
параметра р=3/2>1).
Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд сходится.
Решить: Исследовать на сходимость при помощи теорем сравнения:
A
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
B
10)
11)
12)
13)
Признак Даламбера
Рассмотрим
числовой ряд с положительными членами
.
Если
,
то:
ряд сходится, если l<1; ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.
Пример 1. Доказать сходимость ряда
Решение.
Общий член ряда определяется формулой
.
Заменяя в этой формулеn
на n+1,
получаем последующий член
.
Составим отношение последующего члена к предыдущему:
:
.
Найдем
предел
Так
как l=
<1,
то ряд сходится (по признаку Даламбера).
Пример
2.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Здесь
,
,
Согласно
признаку Даламбера, ряд сходится.
Пример
3. Исследовать
сходимость ряда
Решение.
Здесь
.
,
значит, ряд сходится.
Пример
4. Исследовать
сходимость ряда:
Решение.
Здесь
,
.
Применим признак Даламбера
(учитывая,
что при
):
,
ряд сходится.
Пример
5. Исследовать
сходимость ряда
.
Решение.
Здесь
поэтому
>1,
значит, ряд расходится.
Замечание.
Напомним, что при вычислении пределов такого вида используют следующие свойства функции ln:
для
любой функции у
справедливо тождество
;
для
любых а>0,
b;
ln y y-1 при y1.
Пример
6.
Исследовать сходимость ряда:
Решение. Здесь
;
,
следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.
Используем второй признак сравнения. Легко видеть, что
.
Ряд
сходится как ряд Дирихле с р>1.
Следовательно, и ряд
сходится.
Замечание. Как видим, признак Даламбера удобно применять, если общий член ряда содержит множители вида вида аn, n!, nn и т.п. Если же общий член ряда является рациональной или иррациональной (как в последнем примере) дробью, то признак Даламбера неприменим, так как в этом случае соседние члены ряда отличаются друг от друга незначительно.
Решить: Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера:
A
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
B
13)
14)
15)
16)
17)
Радикальный признак Коши.
Если
для ряда
с положительными членами существует
,
то этот ряд сходится приl<1
и расходится при l>1.
Если l=1,
то вопрос о сходимости ряда остается
открытым (нужны дополнительные
исследования).
Пример
1. Исследовать
сходимость ряда
Решение.
Имеем
.
Здесь удобно применить признак Коши:
.
Так
как
,
то ряд сходится.
Пример
2. Доказать
сходимость ряда
Решение.
Применим признак Коши. В данном случае
;
так как
,
то ряд сходится.
Пример
3. Исследовать
вопрос о сходимости ряда
Решение. Применим признак Коши.
,
следовательно, ряд сходится.
Пример
4. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Находим
,
следовательно, ряд сходится (по признаку
Коши).
Замечание При применении признака Коши следует учитывать, что
(см.
тему «Предел функции);
вообще,
,
где
- многочлен
Решить: Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши:
A
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
B
9)
10)
11)