Тема VII. Ряды

Признаки сходимости числовых положительных рядов.

Необходимый признак.

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел: u₁, u₂, …, u_n, …

Построим из этой последовательности выражение: u₁+ u₂ + u₃ +…+ u_n +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u₁, u₂, u₃,… называются членами ряда, а член u_n - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде . Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Если не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е.расходится.

Пример 1. Написать первые четыре члена ряда с общим членом .

Решение. Полагая в формуле для общего члена n=1,2,3,4, получаем:

; ; ;

Итак,

Пример 2. Написать первые четыре члена ряда, общий член которого задан формулой .

Решение. Полагая в данной формуле n=1,2,3,4,5,6, получаем

; ;

; ;

Таким образом, данный ряд можно записать так:

Пример 3. Найти формулу для общего члена ряда:

, считая, что каждый его член получается по тому закону, по которому образованы записанные члены.

Решение.

Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из которых равен единице (первый член тоже можно представить так: ), а знаменатель есть произведение нечётного числа на соответствующую степень числа 2 (для первого члена это тоже верно:).

Далее, так как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида , чтобы получить искомую формулу:.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала:

n!=1234…(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.; (n+1)!=n!(n+1). Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246…(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135…(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

Решить:

Написать первые четыре члена ряда:

A 1) 2)3)4)

B 5) 6)

Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным его первым членам и записать ряд, используя знак суммы ():

A 7) 8)9)

10) 11)

B 12) 13)

14)15)

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастанииn, т.е.

Следствие:

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:

расходится, хотя (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Пример 4. Исследовать вопрос о поведении ряда с помощью необходимого признака сходимости:

Решение. Найдем предел общего члена ряда при n→ ∞ (вспомним, что в этом случае можно пренебречь младшими слагаемыми (степенями n) в числителе и знаменателе):

Данный ряд не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходится.

Пример 5. Проверить выполнимость необходимого признака сходимости для ряда

Решение. Здесь .

Необходимое условие сходимости ряда выполняется; сделать из этого вывод о том, сходится ряд или расходится, нельзя.

Решить:

A Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:

1)2)3)4)

5) 6)7)8)