Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТеорМЕХ3куПМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

координат являлись бы независимыми.. Пользуясь такой независимостью, можно принять равными нулю все вариации координат, кроме xj . Тогда в первой сумме останется только

одно слагаемое

(X j m j xj )xj 0

Так как xj	0 , то должно быть равно нулю выражение в квадратной скобке, которое приводит
к уравнению (уравнениям, так как в наших рассуждениях индекс						j	не фиксировалcя)
			mj xj	X ,	j=1,2,…,3N
				j
В общем же случае,		не все x j 0		независимые, так как они связаны двумя системами
равенств. () и (). Число независимых вариаций координат равно 3 N							k r .Чтобы в этом случае
найти независимые вариации координат можно поступить так.						Принять например, первые
k r вариаций координат			зависимыми,	и выразить их через			остальные ( независимые)
координаты,	разрешив	k	r уравнений связей относительно зависимых вариаций координат.
Полученные значения подставить в уравнение (),					и пользуясь независимостью оставшихся

вариаций координат получить соответствующие дифференциальные уравнения движения

системы, которые ,		очевидно, будут	отличаться от уравнений			() так	как в них	будут
присутствовать	еще	и производные	f	и коэффициенты a	.	Лагранж	предложил	более

			x

изящный метод	исключения зависимых вариаций координат,				основанный на использовании
метода неопределенных множителей,				известного студентам по разделу относительного
экстремума функции		курсе математического анализа.

Займемся выводом уравнений Лагранжа 1-го рода. Имеем по принципу Даламбера-Лагранжа

	3N
	(Xν		mν xν )δxν			0
	ν 1
Каждое из уравнений () умножаем			на	соответствующий множитель			и суммируем
полученные равенства по всем	. Получаем.равенство
	k		3N	f χ
	k		3N
	λ	χ			δx	0
	λ				δx	0
				xν	ν
	χ 1		ν 1	xν

Меняем порядок суммирования, что дает

3N k

1 1

x 0

Аналогично, каждое из уравнений () умножаем на соответствующий множитель суммируем полученные равенства по всем , и меняем порядок суммирования

	3N	r
				a	x	0;
	1		1
Складываем равенства () , () и ().
3N		k		f χ	r
3N		k			r
{X ν	mν xν		λχ			μχ aρ ν } δxν 0
{X ν	mν xν		λχ	xν		μχ aρ ν } δxν 0
ν 1	χ	1		xν	χ	1

Выберем значения k+r множителей Лагранжа и таким образом, чтобы выражения в фигурных скобках при k+r зависимых вариациях координат обратились в ноль. Тогда в силу

независимости остальных 3N-k-r вариаций координат выражения в фигурных скобках также должны быть равны нулю, что приводит к системе уравнений Лагранжа 1 рода

					f χ
		k				r
mν xν	Хν		λχ				μρaρ ν	ν 1,...,3N
mν xν	Хν		λχ		xν ρ 1		μρaρ ν	ν 1,...,3N
		χ	1		xν ρ 1
которые совместно с уравнениями связей
f χ (x1 ,...,x3N ,t)			0,χ		1,...,k
3N
aρ ν xν		aρ , ρ			1,2,...,r
λ 1
образуют замкнутую систему 3N		k	r	уравнений для определения 3N k r неизвестных:
x ν ( ν 1,...,3N), λχ ( χ	1....,k )	и μρ		(		1,...,r ) .

Вэтих уравнениях:

Хν - внешние активные силы, действующие на систему,

λχ	f χ	- силы реакций соответствующих голономных связей,
	xν

μρ aρν - силы реакций соответствующих неголономных связей,

Достоинства и недостатки Уравнений Лагранжа 1 рода. Достоинства:

Описывается движение механической системы с любым количествтом материальных точек и связей,

Учитываются не только голономные, но и неголоно, мные связи. Можно определить величины реакций связей Можно определить движение каждой точки системы.

Недостатки Большое число уравнений, которые надо решать.

С увеличением количества связей увеличивается число уравнений, подлежащих решению.

Уравнения Лагранжа 2 рода.

Перечисленных выше недостатков лишены уравнения Лагранжа 2 рода. Обратим внимание на то, что с увеличением количества связей свободы движения для точек системы уменьшается. Уменьшается число степеней свободы, которое для одной материальной точки равно 3, для абсолютно твердого тел – 6, для абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой – 3. За число степеней свободы системы можно принять число независимых вариаций координат. Если на систему наложены только к геометрических (голономных) связей, то число степеней свободы для такой системы будет равно n= 3N-k. Столько же будет у такой системы независимых координат.

Обобщенные координаты.

Положение точек и абсолютно твердых тел в системе не обязательно определять в декартовой системе координат, особенно в случаях, когда на систему наложены геометрические связи. Бывает более удобным определять положение системы другими величинами. Например, для абсолютно твердого тела с неподвижной осью вращения , нами положение этой системы материальных точек определялось только одним параметром - углом

В общем случае обобщенные координаты вводятся как не зависимые между собой величины, являющиеся только функциями времени и полностью определяющие положение

системы в любой момент времени..Их число равно числу степеней свободы системы. Они обозначаются так

q1 ,q2 , ,...,qn

Координаты всех точек системы при этом должны быть только функциями этих координат и времени

xν xν (q1 ,q2 , ,...,qn ,t).ν 1,...,3N

Изохронные вариации этих координат равны

n	xν
xν		q j
	q j
j 1

Подставляем эти вариации в принцип ДаламбераЛагранжа

3N	n	xν
(X ν mν xν )		xν	q j	0
(X ν mν xν )	j 1 q j		q j	0
ν 1	j 1 q j

Это уравнение удобно переписать так

n 3N		xν	3N		xν
( m x		xν	X		xν	) q		0
( m x			X			) q		0
j 1 ν 1	ν	q j	ν 1	νν q j			j	j
								j

В силу независимости вариаций обобщенных координат имеем равенства

3N		xν
mν x		xν
mν x		q j
ν 1		q j
Введем обозначения
3N		xν
X		xν
X	νν	q j
ν 1		q j

Преобразуем теперь выражение

3N	xν
X ν ν		0, j 1,2..,,n
	q j
ν 1

Qj - обобщенные силы.

	xν	. Можно записать

x	q j

xν

( x

xν

) x

xν

q j

dt q j

q j

dt q j

Имеют место равенства Лагранжа, которые нетрудно проверить

xν

d xν

xν

q j

dt q j

q j

Проверка справедливости равенств Лагранжа. Учтем, что xν

Имеем

Дифференцирование

i 1

q j подтверждает справедливость

этих равенств

по переменной

первого равенства Лагранжа.

Дифференцированием этих равенств по переменной q j

получаем равенство

2 x

q j

i 1 qi q j

t q j

			44
С другой стороны, полная производная по времени от функции						xν	имеет вид
С другой стороны, полная производная по времени от функции							имеет вид
						q j
	d x		n 2 x	qi	2 x
		ν
	dt q j		i 1 qi q j		t q j
	dt q j		i 1 qi q j		t q j

Так как правые части последних двух равенств совпадают, то должны совпадать и левые их части, чем и подтверждается справедливость второго равенства Лагранжа.

В силу равенств Лагранжа формула			() преобразуется к виду
x	xν	d		( x	xν	)	x	xν

	q j	dt			q j			q j
которую удобно представить в такой форме

x 2

[

(

)]

(

)

q j

Умножая полученные равенства на соответствующие величины масс точек mν и суммируя получаемые при этом соотношения по всем ν , получаем

3N m x 2

m x 2

mν

(

)

q j

q j ν 1

ν 1

.Суммы, стоящие па правых частях равенств, равны кинетической энергии системы (по определению). Поэтому можно записать

xν

ν 1 mν xν

ν (

)

q j

Уравнения () при этом принимают вид

(

)

Qj , j

1,2,...,n

dt ν

q j

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа. 2

рода

В случае потенциальных сил, когда существует

такую функцию обобщенных координат

U(q

1 ,q2 ,...,qn ),что

, j

1,2,...,n

то

М1

такую

функцию называют потенциалом силового

поля.

прямой путь

Уравнения Лагранжа 2 рода при этом преобразуются

к виду

окольный путь

(

)

, j 1,2,...,n

М0

q j

этом случае удобно ввести в рассмотрение функцию

Рис.

(функцию Лагранжа)

для

которой справедливы уравнения

(

)

0 , j

1,2,...,n

q j

Вариационный интегральный принцип Гамильтона-Остроградского

45
Принцип Гамильтона-Остроградского	(принцип стационарного действия)-

общий интегральный вариационный принцип классической механики, установлен в середине 19 века У.Гамильтоном для голономных систем, на которые наложены только идеальные стационарные связи и обобщен М. В. Остроградским на нестационарные связи. Введено понятие действия по Гамильтону

S	t1 L(q, q,t)dt
	t0

Принцип Гамильтона-Остроградского

Действие по Гамильтону имеет стационарное значение для действительных перемещений системы (по прямым пулям) из начального положения в другое по сравнению с близкими кинематически возможными движениями (по окольным п утям), для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения.

В большинстве случаев истинное движение доставляет функционалу S наименьшее значение. Поэтому принцип Гамильтона-Остроградского часто называют принципом наименьшего действия. Математически принцип Гамильтона-Остроградского формулируется так: для истинного движения при сформулированных выше условиях необходимо и достаточно, чтобы

S 0	или	t1 L( q,q,t )dt 0
		t0

Это задача вариационного исчисления. Из теории вариационного исчисления следует, что для того , чтобы последнее условие выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы функции q( t ) удовлетворяли уравнениям Эйлера

L	d	(	L	) 0 , j 1,2,...,n ,
		(		) 0 , j 1,2,...,n ,
q j	dt		q j

и заданным начальным и конечным условиям.

Как видно, уравнения Эйлера совпадают с уравнениями Лагранжа 2 рода..

Важно отметить, что согласно		принципа	Гамильтона-
Остроградского достаточно минимизировать функцию
Гамильтона (функционал), для чего не обязательно решать
уравнения	Лагранжа 2 рода,	а можно	использовать
численные методы минимизации функционалов.
Движение абсолютно твердого тела с одной неподвижной
точкой.
Так как тело абсолютно твердое, то с ним можно связать
подвижное пространство, а с пим –подвижную систему
координат:
(ξ, η, ζ) – неподвижная система координат;
(x, y, z) – подвижная система координат; С – центр масс тела.				Рис.

Для изучения движения тела можно использовать как на подвижные, так и на неподви жные

оси.

Вектор (t) – мгновенная угловая скорость. Он выходит из начала координат. Его можно проецировать как на подвижные, так и на неподвижные оси.

Движение тела как систему материальных точек можно изучать, используя общие теоремы механики (теорема о движении центра масс, теорема о кинетическом моменте, теорема о кинетической энергии).

Кинетический момент абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой.

Принимаем неподвижную точку за начало подвижной системы координат Определим кинетический момент тела относительно неподвижной точки О. Будем его находить в проекциях на подвижные оси координат:

G xo

G yo

G zo

Пусть масса к-той материальной точки тела равна mk

а радиус – вектор этой точки равен

rk , а

скорость этой точки равна

vk . Согласно формуле Эйлера имеем

(mk vk )

(mk

rk )

(

[mk

(rk 2 ) mk

)] ,

rk )

rk (rk

где

y 2

2 ;

x xk

y yk

z zk

Gx - проекция вектора на ось Ox.

(x 2

y 2

z 2

)

(

)]

x k

y k

m (y 2

z 2

)

m x y

m x z

k k k

k k

m y x

m (x

z 2 )

m y z

k k k

k k

m z x

m z

m (x

y 2

)

k k k

k k

Введем обозначения:

m (y 2

);

m (x 2

);

m (x 2

y 2

);

k k

I xy

mk xk yk

I yx ;

I xz

mk xk zk

I z x ;

I yz

mk yk zk

I z y

m (y

)

m (x

)

- осевые моменты инерции

m (x

)

I xy

mk xk yk

I yx

I xz

mk xk zk

I zx

= центробежные моменты инерции

I yz

mk yk zk

I zy

Эти величины наряду с массой тела

являются динамическими характеристиками

тела. Они образуют тензор инерции тела

I xx

I xy

I xz

I xy

I yy

I yz

I xz

I yz

I zz

I - тензор инерции. Он определяет инерционные свойства тела.

Формулы () свидетельствуют о том, что кинетический момент - вектор Go есть скалярное произведение тензора инерции тела на вектор угловой скорости:

Go I

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой.

По определению кинетической энергии:

			T			1				m v				2		1			m v					(			)
						1								2		1							k			r
																										r
						2							k k			2					k					k
						2			k							2		k
			1																1
			1					mk										)	1					mk
											rk (vk															(rk		vk )
			2				k				rk (vk								2				k			(rk		vk )
			2				k												2				k
				1																1
					ω									(m v				)				ω G
												r					k
												r
			2										k		k				2						o
			2						k										2
Следовательно,
						1								1

			T								Go							I

						2								2
						2								2
Вычисления дают
	1	2				2		2
T		( I xx x	I yy				y		I zz z						2I xy x						y		2I xz x z					2I yz y z )
T	2	( I xx x	I yy				y		I zz z						2I xy x						y		2I xz x z					2I yz y z )
	2

Знание кинетической энергии тела позволяет составить уравнения движения твердого тела.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Ограничимся частным случаем, когда. у тела есть еще одна неподвижная точка,

С осью вращения связываем ось О z. Тогда .

(0,0,

)

0 ,

Ixx

Ixy

Ixz

Go I

Ixy

I yy

I yz

(0,0, )

Ixz

I yz

Izz

( Ixz , I yz , Izz )

(0,0,

) (

I xz ,

I yz , I zz )

I zz

(t )

Уравнение Лагранжа 2 рода для случая движения абсолютно твердого тела с двумя неподвижными точками.

Введем систему координат и обобщенную координату Q1	,которая определяет
вращательную степень свободы. Оси ζ и z совпадают по построению.

z z

Обобщенная координата одна qi

Уравнение Лагранжа 2 рода в рассматриваемом случае принимает вид:

Обобщенная сила определяется коэффициентом, который стоит в выражении для

виртуальной работы, которая совершается на соответствующем возможном перемещении

M z

где

M z

- сумма моментов относительно оси Oz всех сил, действующих на тело ,

Q1 - обобщенная сила.

Так как

0,i

Izz

(

)

то

уравнение Лагранжа 2 рода для описания вращения движения тела вокруг неподвижной

оси имеет вид

I zz

M z

Если на тело не действуют силы, создающие момент относительно оси его вращения, или

моменты этих сил уравновешены, то M z

0 . В этих случаях тело вращается по инерции, с

постоянной угловой скоростью const . Такое явление имеет место для планет и их dt

спутников.

Законы сохранения

1. Закон сохранения количества движения


	n
Если		F	е 0 , то	Q	const ,	v const
		k				C

2.Закон сохранения момента количества движения

n
Если			F	е	0 , то	G const
Если		r	F	е	0 , то	G const
		k	k				O
			k
k	1

3 Закон сохранения энергии

Интеграл энергии

Если внутренние и внешние силы потенциальные, то имеют место равенства

3 N

Х е dх

3 N

U е

dх

dU е ,

Х i dх

3 N

U i

dх

dU i

хk ,

k 1

Равенство () принимает вид

dU е U i )

которое можно записать так

d(T U) 0

Следовательно, при движении механической системы в поле потенциальных сил, на нее действующих, выполняется закон сохранения полной механической энергии системы

T V const

Основная литература

1.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., т. 1 - 1965, 465 с., т. 11 -1966,

332 с.

2.2. Суслов Г.К. Теоретическая механика, М; Л. 1946, 655 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019448.54 Кб3Теоритическая характеристика тёмной сенсорной к...docx
#
17.09.201967.58 Кб4теория алгоритмов.doc
#
21.09.20191.3 Mб1Теория ИГА.doc
#
22.11.201988.58 Кб3Теория множеств.doc
#
13.02.201515.31 Кб21Теория отраслевых рынков.docx
#
13.02.20151.55 Mб11ТеорМЕХ3куПМ.pdf
#
26.09.2019284.77 Кб6термех ответы.docx
#
17.07.2019777.22 Кб4Термодинамика.DOC
#
25.04.2019176.37 Кб15Термодинамическая система.docx
#
13.02.201593.18 Кб36Тест для подготовки к зачёту.doc
#
13.09.201932.07 Кб11тест к рейтингу по медиакультуре.docx