Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТеорМЕХ3куПМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Вектор

определяет вектор мгновенной скорости точки тела , которая, как выше было

показано, может быть определена по формуле Эйлера

Поэтому для ускорений точек тела имеем формулу

(

)

Замечание : Радиус-вектор r откладывается от неподвижной точки тела О..

Свободное движение абсолютно твердого тела.Распределение скоростей и ускорений в свободном теле.

Принимаем некоторую точку тела А за его полюс. Пусть

rA , OM rM , AM

Имеем равенство

rM , rA ,

Дифференцируем равенство по времени

drM

drA

Введем обозначения

drM

vM ,

drA

Так как расстояние между точками А и М неизменное, то

вектор

совершает

только вращательное движение

Рис.

вокруг точки А . Пусть мгновенная угловая скорость это вращения равна . В таком случае можно записать

d AM dt

Формула, определяющая вектор скорости точки М тела, может быть представлена в таком

виде
vM , vA	AM

Очевидно, что скорость любой точки тела не зависит от выбора полюса. Покажем, что и вектор мгновенной угловой скорости тела также не зависит от выбора полюса Для доказательства этого утверждения допусти, что мгновенная угловая скорость вращения тела зависит от выбора полюса тела. Выберем новый полюс тела в точке В, не совпадающей с точкой А. Можем записать

Так как

BM ,

то

С другой стороны имеем равенство

, vA

( AB

BM )

Из сравнения этих равенств следует, что

Или

(

)

В силу произвола выбора точки М такое равенство возможно лишь в случае, когда	1

Распределение ускорений в свободном теле.

Распределение ускорений в твердом теле можно определить на основе формулы ().

vM , vA

Дифференцируем по времени обе части этого равенства. Имеем

dvA

учитываем, что

dvM

dvA

Получаем

, wA

(

)

- ускорение точки тела при свободном движении тела.

Предположим, что у нас имеется 2 пространства: абсолютное (связанное с солнцем) и то, где движется тело (связанное с землей). Точка М движется как в одном, так и в другом пространствах.

Сложное движение материальной точки

Даны 2 системы координат:

1)неподвижная

2)подвижная

z1	M
	M
z		y
	r	y

	O
x1	0
	0
	x	y1
	x

x1 Рис.

Пространство движется как твердое тело

- радиус-вектор точки М в неподвижной системе

координат,

r - радиус-вектор точки М в подвижной системе координат.

радиус-вектор начала подвижной системы

координат.

Относительное движение материальной точки - движение материальной точки относительно подвижной системы координат.

Переносное движение материальной точки – движение того места подвижной системы координат, в котором в данный момент времени находится материальная точка.

Абсолютное движение материальной точки – движение материальной точки в неподвижной

системы координат.

Говоря о переносном движении, надо забыть об относительном и наоборот.

Движение подвижной системы координат характеризуется вектором скорости ее начала

и угловой скоростью вращения

подвижной системы координат.

Теорема о сложении скоростей

Имеет место равенство

()

где

x x

y y0

z z 0

Имеем также

dx0

dy0

dz 0

xx0

y y0

z z 0

Здесь,

согласно формуле Эйлера

dx 0

x 0 ,

dy0

y0 ,

dz 0

z 0

Поэтому пишем

где

- локальная производная по времени от вектора r , определяющая

y y

z z

вектор относительной скорости точки М

xx 0

y y0

z z 0

Далее пишем

- вектор абсолютной скорости точки М

- вектор переносной скорости точки М

Дифференцируем по t

уравнение () .

Получаем

Учитывая предыдущие формулы, имеем

Откуда следует теорема о сложении скоростей

va ve vr

Это векторное равенство можно проецировать на подвижные и неподвижные оси

Теорема о сложении ускорений (теорема Криолиса)

Запишем равенство

() так

r vr

Продифференцируем это равенство по t /

Имеем

dt2

Или

(

r )

dt2

Или

( vr )

(

r )

dt2

Что приводит к теореме сложения ускорений (теореме Кориолиса)


		wa we wr	2(	vr )
wC 2	vr - ускорение Кориолиса (поворотное ускорение)_
wC 2	vr - ускорение Кориолиса (поворотное ускорение)_

Дополнения к теореме Кориолиса.

Приложения теоремы Кориолиса. Теорема Кориолиса необходима для правильного описания движения в подвижных системах координат. Согласно теореме Кориолиса имеем

Согласно второму закону Ньютона

mwa

F ,

что дает

m(we

wc ) F

Отсюда следует векторное уравнение движнгия

материальной точки в подвижной системы

координат

N s M

mw F ( mw ) ( mw )

силы

инерции

Подчеркнутые

величины в

полученном

уравнении

называют

силами

инерции

материальной точки соответственно

переносной

силой инерции и силой инерции Кориолиса.

Иллюстративный пример.

.Задача. Имеется жесткий плоский круглый

тонкий обруч радиуса а (рис.6.1),, который

вращается с постоянной угловой скоростью

вокруг своего диаметра. На обруче находится

колечко М, которое движется по обручу по

заданному

закону

s(t) ,

где

естественная

координата

s отсчитывается от конца диаметра,

Рис.6.1

вокруг которого вращается

обруч. Определить

абсолютные

значения

скорости

ускорения

колечка для любого момента времени.

Решение задачи.. Связываем с обручем .подвижную плоскость и располагаем в ней подвижные оси Ох и Оz правой системы координат, Оz проходит по оси вращения, а. Ось Oy ортогональна к подвижной плоскости.

За неподвижную плоскость О удобно принять положение подвижной плоскости в некоторый момент времени, принимаемый нами за начальный. С неподвижной плоскостью связываем неподвижные оси О и О.

Положение подвижной плоскости относительно неподвижной определяется переменным углом


, зависящим от времени. Согласно выбранному направлению оси О и рисунку		0 . Дуга
NM имеет длину s и ее центральный угол равен	s / а . Так как теоремой Кориолиса

пользуются для определения абсолютного ускорения в подвижном пространстве, то желательно знать векторы скорости и ускорения в проекции на подвижные оси координат.

Согласно изложенной теории вектор абсолютной скорости точки точки М определяется по формуле

va ve vr ,

где переносная скорость определяется по фомуле

ve vo r ,

Относительная скорость

dr vr dn

В рассматриваемом случае vo 0 , так как точка О неподвижная,

(0, 0, ), r а (аsin , 0, аcos )

Относительное движение колечка совершается по обручу и поэтому траекторией относительного движения является окружность радиуса а . В общем случае оно неравномерное, так как закон движения по обручу не задан и функция s(t) не определена.

Здесь имеет место естественное описание относительного движения, в котором скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение слагается из касательного и нормального. Единичный вектор касательной к траектории изображен на рис. 6.1 и имеет вид

(cos , 0, sin )

Единичный вектор нормали к траектории направлен к центру ее кривизны и в рассматриваемом случае от точки М к точке О.

n ( sin , 0, cos )

Поэтому имеем

		i	j	k	i	j
		i	j	k
ve		0	0				(0, а sin , 0)
ve	r	0	0		а sin	0	(0, а sin , 0)
		а sin	0	а cos	а sin	0
		а sin	0	а cos

(

cos

sin

)

Следовательно

(

cos

, а sin

sin

)

Для абсолютно ускорения используем формулу (

)

где

(

r ) ,,

, w 2(

)

В рассматриваемом случае w0

0 , та как точка О неподвижная.,

так как принято, что

= const..Учитывая, что выше было найдено

(0,

а sin

, 0)

можем записать

wе

(

)

(

а sin , 0, 0) =

а sin

Относительное ускорение связано с неравномерным движением колечка по окружности и имеет две компоненты

wr wr wrn

		d 2s	v	2
или	w		r		n
или	w				n
	r	dt2	R
		dt2	R
В рассматриваемом случае R a , Поэтому

	d 2s		ds	2	1

wr		(		)		n
	dt2		dt		a

что с учетом () позволяет записать

w	s(cos			, 0,				sin )	s2
r
или
w	(s cos				1		s2 sin		0,
w	(s cos						s2 sin		0,
r					a
					a
Находим теперь ускорение Кориолиса
								i	j
								i	j
wc 2(			r )	2				0	0
wc 2(		v	r )	2				0	0
						ds		cos	0
						dt		cos	0
						dt
Имеем

1a ( sin , 0, cos )

s sin	1	s2 cos )

	a

dsdt sin

			wc	(0, 2 s cos			, 0)
Таким образом, абсолютное ускорение представляется вектором
w	( а sin			s cos	1	s2 sin	, 2 s cos ,	s sin	1	s2 cos )
w	( а sin			s cos		s2 sin	, 2 s cos ,	s sin		s2 cos )
a					a				a
					a				a
где		s(t)	.
где			.
		a

Взаимодействие мгновенных поступательного и вращательного движений свободного абсолютно твердого тела.

В каждый момент времени распределение скоростей в теле определяется по формуле

vМ

vА

где

АМ .

Вектор скорости полюса vА

зависит от выбора полюса, вектор угловой скорости не зависит от

выбора полюса. Возможны следующие варианты

vА

0 тело находится в мгновенном состоянии покоя;

vА

0 тело находится в состоянии мгновенного поступательного движения

с скоростью

vА .

vА

0 тело находится в состоянии мгновенного вращательного движения с

угловой скоростью

вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А

vА

0 . Здесь возможны варианты:

4а)

vА ||

( | vА

| vА ||

|) Такре движение тела называется мгновенным

винтовым движением (кинематический винт). Ось, винта проходящую через полюс А

параллельно вектору угловой скорости

. Величину

называют параметром винта (шагом винта)

4б) vА

( vА

0 ) Данный случай отвечает мгновенному вращению тела

вокруг некоторой оси, проходящей праралледьно вектору

.Покажем, что существует точка

тела N , обладающая мгновенной нулевой скоростью.

Для нее должно выполняться равенство

vА

, определяющий положение точки N относительно

Найдем из последнего равенства вектор

точки A. Для этого умножим обе части последнего равенства векторно слева на вектор

Имеем

vА

(

)

Полученное равенство записываем так

vА

(

r )

Решение этого векторного уравнения можно представить в таком виде

vА

в чем убеждает простая проверка.

Здесь

- произвольный числовой параметр,

что

свидетельствует о том, что формула

определяет не одну точку N, а всю ось мгновенного вращения тела. Подчеркем, что радиус-

вектор

откладывается от полюса тела – точки А.

4в)

0 | vА

| | vА ||

| (векторы vА и

не ортогональны и не параллельны друг

другу). Покажем, что в этом случае имеет место мгновенное винтовое движение тела

вокруг оси , не проходящей через полюс.

Обращаемся опять к формуле

vМ

vА

Умножая скалярно обе части этого равенство на вектор

, получаем равенств

vМ

vА

В силу условий варианта 4в, последнее равенство ни для какой точки тела не обращается в нуль, что свидетельствует об отсутствии в теле точек, имеющих нулевую скорость. Следовательно, тело не находится в мгновенном чисто вращательном движении, а совершает мгновенное винтовое движение, ось которого не проходит через выбранный полюс А тела. Покажем это.

Записываем равенство ( )

vМ

Найдем точки тела, в

которых

vМ ||

Для этого

умножаем векторно слева обе части

Получаем

равенства на вектор

vМ

(

)

Так как принято, что vМ ||

, то последнее

равенство принимает вид

			2
0	vA	( r ) r	2
0	vA	( r ) r

Решение этого уравнения имеет вид

						vA

		r
		r		2
				2
Параметр винта находится по формуле
p	(vА		0 )		0 vА		0
	(vА		0 )		0 vА		0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[ Представляем вектор vА в виде суммы двух ортогональных векторов, один из которых параллелен по вектору

			vА				( vА							0 )					0		( vА											0 ,
																												0 )
																												0 )
где	0		0
	0		0

Равенство ( ) записываем так
			vМ			(vА						0 )					0			(vА											0
																											0 )
																											0 )							r
Найдем точки тела, в которых
					vМ					(vА								0 )					0
					vМ					(vА								0 )					0
Для выполнения этого равенства надо, чтобы выполнялось равенство
				(vА					0 )				0											0

																					r
Из этого уравнения определяем векторные координаты																					соответствующих точек.												Для чего умножаем векторно слева обе части пос леднего

равенства на		. Имеем
															0
			(vА				0 )													(									)		0
			(vА				0 )													(								r	)		0
Полученное равенство записываем так
																0															2
			(vА					0 )												(						)							0
			(vА					0 )												(					r	)				r			0
Решением этого уравнения является вектор
						(vА					0 )
																						0
																						0

				r
				r													2
определяющий		ось винта при произвольном числовом параметре .

]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сложное движение абсолютно твердого тела

На практике обычно приходится изучать движение тел в подвижных системах координат. Например, движение МКС изучается в системе координат, связанной с движущейся в космосе Землей.

Рассмотрим две системы координат: абсолютную ((неподвижную) ( , , , ) и подвижную (x,y,z,O). Пусть радиус-вектор начала подвижной системы координат rО , а угловая

скорость	подвижной системы равна
		е . В этом случае скорость любой точки М подвижной
системы	координат определяется по формуле

v М	v о		ОМ
v М	v о	е	ОМ
е	е	е
	е

Которая определчет переносное движение точки М тела.

Рассмотрим движение абсолютно твердого тела в подвижном пространстве. Пусть

угловая скорость

вращения тела относительно

подвижного пространства, и

М -

относительная скорость

точки

тела,

находящейся в данный момент времени в точке М

подвижного пространства.

Принимаем,

что полюс тела в данный момент времени совпадает с

началом подвижной системы координат -точкой О..

Относительная скорость точки М тела определяется по формуле

v O

Переносная скорость точки М тела определяется по формуле

v М

v O

Абсолютная скорость точки М тела согласно теоремы о сложении скоростей рав yа

v М

v O

(

) OM

Как видно, при сложном движении тела скорости поступательных движений и угловых

скоростей соответственно складываются как векторы. Имеем

v O

OM v O

v O

(

) OM

Находим

O ,

Здесь возможны различные случаи, рассмотренные в предыдущей лекции. В частности ,

когда

vаО о и (или)

Пара вращений.

Остановимся подробнее на случае, когда переносное и относительное движения тела чисто вращательные, оси вращения параллельны. и е r . Такой случай носит название “пара вращений”. Покажем, что абсолютное мгновенное движение, порожденное парой вращения,

является

чисто поступательным. Пусть

точка

лежит

на

оси

переносного вращательного движения,

а точка

В –

на

оси

относительного вращательного движения.(рис. 7.1). Имеем

ВМ

АМ ,

v М

АМ

(ВМ

АМ )

e ВМ

(ВМ

MA)

АВ

ВА

Рис. 7.1

Как видно, скорость точки М тела, совершающего сложное движение,

порожденное парой вращения,

не зависит от ее положения в теле,

поэтому скорости всех точек тела одинаковые и тело в неподвижном абсолютном пространстве совершает мгновенное поступательное движение, скорость которого равна моменту пары

вращения. va АВ r , или va ВА е

Статика.

Основные понятия, определения и аксиомы статики

Статика изучает взаимодействие систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу и свойства силовых полей. В ее основе лежит ряд определений и аксиом, отражающих

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019448.54 Кб3Теоритическая характеристика тёмной сенсорной к...docx
#
17.09.201967.58 Кб4теория алгоритмов.doc
#
21.09.20191.3 Mб1Теория ИГА.doc
#
22.11.201988.58 Кб3Теория множеств.doc
#
13.02.201515.31 Кб21Теория отраслевых рынков.docx
#
13.02.20151.55 Mб11ТеорМЕХ3куПМ.pdf
#
26.09.2019284.77 Кб6термех ответы.docx
#
17.07.2019777.22 Кб4Термодинамика.DOC
#
25.04.2019176.37 Кб15Термодинамическая система.docx
#
13.02.201593.18 Кб36Тест для подготовки к зачёту.doc
#
13.09.201932.07 Кб11тест к рейтингу по медиакультуре.docx