Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТеорМЕХ3куПМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

М е

k 1

R i n

М i n

R i

М i

rk F	е
rk F	k	- главный момент всех внешних сил, действующих на систему.

n
				mk wk					- главный вектор сил инерции системы.
k	1
n
							mk wk
			rk				mk wk		- главный момент сил инерции системы.
k	1
n
				F		i		- главный вектор внутренних сил системы
					k			- главный вектор внутренних сил системы
k 1
n
							F	i
		r					F	i	- главный момент внутренних сил системы
				k				k	- главный момент внутренних сил системы
k	1

Главный вектор и главный момент всей системы сил, приложенных к механической системе (включая силы инерции), также должны быть равными нулю, так как система этих сил по принципу Даламбера находящейся равновесии.. Поэтому должны выполняться равенства

i n

i 0

Согласно же третьего закона Ньютона внутренние силы в системе попарно уравновешены, и поэтому вся система внутренних сил является уравновешенной. Вследствие этого должны быть равными нулю главный вектор и главный момент внутренних сил

0 .

С учетом сказанного из уравнений () следуют равенства

m w

е ,

m w

k 1

dvk

Так как

, v

drk

а массы всех материальных точек системы принимаются

неизменными, то справедливы равенства

	d
m w		(m v	)	r

k k	dt	k k		k

что позволяет уравнения () записать так d n

dt k 1 d n

dt k 1

mk wk			d

			dt

		n
mk vk
		k 1

	rk mk vk

(rk mk vk )

F е ,

rk Fkе

k 1

			32
Введем обозначения
		n
	Q			mk vk - количество движения механической системы,
		k	1
		n
GО
GО				rk mk vk - момент количества движения механической системы относительно
		k	1
точки О (кинетический момент механической системы относительно точки О).

Теорема о количестве движения:

Согласно введенным обозначениям уравнение () записывается так

	n
dQ
	F е

dt
		k
	k 1

что позволяет сформулировать теорему:

Производная по времени от количества движения системы равна суме всех внешних сил, действующих на систему.

Следствие

Теорема о движении центра масс

Количество движения системы можно представить так

	d	n
Q	d		mk
				rk
	dt k			rk
	dt k		1

Используем понятие центра масс системы, введенное формулой ().

mk rk М rС

k 1

При этом количество движения системы

Q выражается через массу системы и скорость ее

центра масс

d 2

( М rС

) М

МvC ,

МwC

dt2

а уравнение ( ) принимает вид

d 2

F е

dt2

k 1

Получили теорему о движении центра масс

Центр масс системы движется как материальная точка, обладающая массой, равной массе всей системы, на которую действуют все внешние силы, приложенные к системе.

Замечание. Если внешние силы не зависят от внутренних сил системы, то уравнения движения центра масс системы можно интегрировать независимо от уравнений движения системы.

Например, движение Солнечной системы в астрономии рассматривается на основе модели, исключающей влияние на Солнечную систему сил, действующих на нее со стороны остальных

тел Вселенной (звезд, галактик и т.п. ) в	связи			с их большой удаленностью. Поэтому
n
принимается, что для Солнечной системы		F	е	0 . Это дает основание считать чно центр
		k
k	1

масс Солнечной системы движется инерционно с постоянной скоростью. Так как планеты и другие тела Солнечной системы обладают суммарно пренебрежимо малой массой по сравнению с массой Солнца, то центр масс Солнечной системы практически совпадает с центром Солнца, который движется в ближнем космосе прямолинейно и с постоянной скоростью. в дальнем космосе Солнце участвует во вращательном движении вокруг центра нашей галактики –

Млечного пути .с периодом обращения в миллиарды световых лет. На протяжении миллионов лет Ту дугу этой траектории которую центр Солнца проходит за миллионы лет с большой точностью ожно аппроксимировать прямой линией. Солнце движется относительно местного стандарта покоя со скоростью 19,4 км/с в направлении точки на небесной сфере с координатами (эта точка наз. апексом).

Теорема о моменте количества движения (о кинетическом моменте)

Согласно введенным обозначениям уравнение () записывается так

	n
dGО
			F	е
		r
dt		k	k
	k 1

что позволяет сформулировать теорему:

Производная по времени от момента количества движения системы равна суме моментов всех внешних сил, действующих на систему.

Эта теорема имеет исключительно важное значение для исследования вращательных

движений тел

(колес, роторов моторов и турбин различного назначения, искусственных и

естественных небесных тел и. т.д. и т.п.).

Теорема о кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

1 n

2 k 1

Теорема Кенига

Положим

vk ,

rk , При этом имеем vk

где

k - скорость относительного движения материальной точки вокруг центра масс.

Так как

v 2

то

m v

2 k 1

k 1

Здесь последнее слагаемое равно нулю в силу следующих равенств

m v

( Mr

) 0 , так как

r 0

k 1

Поэтому имеем математическое содержание теоремы Кенига

Mv 2

m v 2

2 k 1

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии центра масс системы , как материальной точки, в которой сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии системы в ее относительном движении вокруг центра масс.

Теорема о кинетической энергии

При движении системы ее кинетическая энергия может изменять свою величину. Для установления величины этого изменения обращаемся к уравнениям движения системы (), в которых систему сил разбиваем на системы внешних и внутренних сил.

					34
		dvk					i k 1, 2,...,n
m	k		F	e		F
		dt
			k			k

Умножим сначала скалярно обе части уравнения () на вектор скорости vk и просуммируем полученные равенства. Получим

dvk

m v

1,2,...,n

dvk

m v

e v

i v

kv k

Известно, что произведение силы на скорость определяет мощностью силы, для обозначения которой используется символ N . Используем обозначения

m v

(

m v 2

)

kv k

2 k 1

k 1

e v

N e ,

i v

N i ,

k 1

Уравнение () принимает вид


n				n
	F	e v			F	e v
	k		k		k		k
	k				k
k 1				k 1

из которого следует такая формулировка теоремы о кинетической энергии системы.

Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, как внешних, так и внутренних, действующих на систему.

Умножаем скалярно каждое	уравнение на элементарное перемещение
		drk
соответствующей материальной точки,	совершаемое ею за промежуток времени dt ,		и

учитываем, что

drk

vk ,

а полученные уравнения суммируем.

.Получаем

m v

i dr

k k

k 1

Или

е drk

i drk

k 1

так как

mkv vk

dvk

dT - приращение кинетической энергии системы

k 1

за бесконечно малый промежуток времени dt .

d Ае - работа всех внешних сил, действующих на систему, на

drk

k 1

элементарных перемещениях:

d Аi

drk

- работа всех внутренних сил, действующих на систему, на

k 1

элементарных перемещениях:

Обратим внимание на то, что дифференциальное выражение

d А

drk

может не быть полным дифференциалом, поэтому дифференциал работы

d А помечен

штрихом.

Получили теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме

Приращение

кинетической энергии

механической

системы

за

бесконечно малый

промежуток времени равно сумме элементарных работ всех внешних

и внутренних сил,

действовавших на систему в этот промежуток времени,

За конечный промежуток времени

t1 t0 каждая точка системы совершает конечные

перемещения. из положения,

определяемого координатами

0 , в положение с координатами

1 , а

силы,

действующие на

нее,

совершали

работу, величина

которой

равна значению

криволинейного интеграла (интегрирование ведется вдоль траектории точки)

Если T0

- начальное значение кинетической энергии системы,

а T1

- конечное, то после

интегрирования уравнения () получаем

е dr

F i dr

Здесь

F е

Ае

- работа всех внешних сил, перемещавших систему из начального положения

в конечное;

F i

Аi

работа

всех

внутренних

сил,

перемещавших систему из начального

положения в конечное.

Получили теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме

Приращение кинетической энергии механической системы за конечный промежуток времени равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, перемещавших эту систему в этот промежуток времени.

Замечание. Подынтегральные выражения в формуле () могут не быть полными дифференциалами, Поэтому численные значения работ Аk могут зависеть от форм траекторий

материальных точек. Как будет показано ниже, в случаях, когда силы потенциальные, работа, производимая ими, не зависит от форм траекторий, соединяющих начальые и конечные их точки.

Теорема о кинетической энергии имеет важное значение для развитии техники ((энергетика, транспорт, освоение космоса и.т.д.).

Потенциальные силы

Для упрощения дальнейшего изложения теории изменим обозначения некоторых величин. Обозначениям координат точек

х1 , y1 ,z1 ,х2 , y2 ,z2 , ..., хN , yN ,zN ,

Х k dхk Yk dyk Zk dzk

ставим в соответствие новые обозначения координат

х1, х2 , х3 , х4 , х5 , х6 , ..., х3N 2 , х3N 1, х3N

Обозначениям проекций сил

Х1,Y1, Z1, Х 2 ,Y2 , Z2 ,..., Х N ,YN , ZN ,

ставим в соответствие новые обозначения проекций сил

Х1, Х 2 , Х 3 , Х 4 , Х 5 , Х 6 , ..., Х 3N 2 , Х 3N 1, Х 3N

Обозначениям масс

m1, m1, m1, m2 , m2 , m2 , ..., mN , mN , mN ,

ставим в соответствие новые обозначения масс

m1, m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , ..., m2 N 2 , m3N 1, m3N ,

В новых обозначениях формула () записывается так

3N			3N
dT	Х е dх		Х i dх
	k	k	k	k
	k		k
k	1		k 1

Потенциал сил

Если можно найти такую функцию				U е ( х ,х	2	,...,х	), что имеют место равенства
				1	2	3 N
Х е	U	е
			,k 1,,2,...,3N
			,k 1,,2,...,3N
k	хk ,
k

то говорят, что внешние силы потенциальные, а функцию U е называют потенциалом внешних сил, действующих на систему.

Если же существует такая функция U i ( х1, х2 ,..., х3N ) , что выполнчются равенства

			Х i	U i	, k	1,,2,...,3N
			Х i	хk ,	, k	1,,2,...,3N
			k	хk ,
то говорят, что	внутренние силы потенциальные,						а функция U i называется потенциалом
внутренних сил системы.
Если существует такая функция U i ( х , х ,..., х							) , что имеют место равенства
				1	2	3N
			Х i	U i	, k	1,,2,...,3N
			Х i	хk ,	, k	1,,2,...,3N
			k	хk ,
то функция U i ( х , х ,..., х			) называется потенциалом внутренних сил системы
1	2	3N

Если внешнее и внутреннее силовые поля потенциальные, то можно ввести в рассмотрение

функцию U

U е

U i , называемую потенциалом всех сил, действующих на систему.

Потенциальная энергия

Функцию

U называют

потенциальной

энергией всей системы сил,

действующих на механическую систему.

Функцию

V е

U е

называют потенциальной энергией поля внешних сил.

Функцию

V i

U i

называют потенциальной энергией поля внутренних сил.

Интеграл энергии

Если внутренние и внешние силы потенциальные, то имеют место равенства

3 N

е dх

3 N

U е

dх

dU е ,

Х i dх

3 N

U i

dх

dU i

хk ,

k 1

Равенство () принимает вид

dT dU е U i )

которое можно записать так

d(T U) 0

Следовательно, при движении механической системы в поле потенциальных сил, на нее действующих, выполняется закон сохранения полной механической энергии этой системы

T V const

Вариационные основы моделирования динамики механических систем Принцип возможных перемещений Лагранжа (1736-1813)

В 1788 г. Лагранж опубликовал книгу «Аналитическая механика», в которой изложил вариационный принцип, получивший его имя, который позволил значительно проще изучать равновесие механических систем с идеальными связями, пользуясь понятием виртуальной работы.

Лагранж разделяет силы, действующие на систему, на два типа:	активные силы	Fka и

реакции связей N k .
Рассматриваются идеальные (без трения) и к тому же	не освобождающие
(двусторонние) связи.

Вводятся понятия виртуальных (возможных) перемещений системы. тоесть таких бесконечно малых перемещений rk , совместимых со связями, которые допускаются для

системы точек в фиксированный момент времени.

Принцип возможных перемещений Лагранжа формулируется так Если на механическую систему наложены только идеальные не освобождающие связи, то для

равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ на возможных перемещениях всех активных сил, действующих на систему, равнялась нулю.

		N
			Fka			0
			Fka		r	0
					k
		k 1
Для установления основ		этого принципа обратимся к условиям равновесия системы сил,
действующих на покоящиеся материальные точки системы

	Fka Nk	0, k		1,,2,...,N

Умножим каждое из равенств на соответствующее возможное перемещение материальной точки rk и суммируем полученные равенства по всем k . Получим

(

Fka

N k )

Или

Fka

N k

k 1

Идеальные связи представляют собой некоторые поверхности, для которых реакции связей ортогональны к этим поверхностям и поэтому возможные перемещения обязательно расположены в касательных плоскостях к этим поверхностям. Поэтому идеальные связи работы не производят и для них имеют место равенства

N k rk 0

k 1

Эти равенства можно принимать за определение идеальных связей. В силу сказанного имеем

Fka rk 0

k 1

или

X ka xk 0

k 1

Принцип ДаламбераЛагранжа. Общее уравнение динамики.

По принципу Даламбера в каждый момент времени


Fk	Nk	( mk wk	) 0

Умножаем каждое уравнение на виртуальное перемещение соответствующей материальной точки и суммируем

[Fk

( mk wk

)]

k 1

Для идеальных связей

N k

0 и

уравнение принимает вид:

[Fk

( mk wk )]

-принцип Даламбера – Лагранжа. а само уравнение называется общим уравнением механики. В

скалярной форме

3N(X m x ) x 0

Типы связей. Уравнения связей.

1. Геометрические (голономные) связи

f ( x1 ,...,x3 N ,t ) 0,	1,...,k
Если время явно не входит в	уравнение связи, то связь называют стационарной
(склерономной).

. Нестационарные связи иначе называют реономными.

2. Неголономные связи

ρ (x1 ,x2 ,...,x3N ,x1 ,x2 ,...,x3N ,t) 0, ρ 1,2,...,r - неголономные связи, если только они не

интегрируемые.

2а. Наиболее простые и часто встречающиеся - линейные неголономные связи

		39
3 N
a	x a	0; 1,2,...,r
1
a ,a	\| x,t	x	dx

			dt
			dt

Связи накладывают ограничения на положения материальных точек, на скорости, на действительные элементарные перемещения и на виртуальные перемещения точек системы.

Рассмотрим сначала ограничения, налагаемые связями на действительные перемещения

1.Голономные связи налагают ограничения, согласно которым материальные точки остаются на связях и после перемещений. Следовательно, справедливы равенства

( x1 ,...,x3 N ,t

)

1,...,k

где

штрихом

помчены

координаты

точек

системы в момент времени

t .

Полагаем

1,...3, N

Имеем

f ( x1

dx1 ,...,x3 N

dx3 N ,t

dt )

1,...,k

Производя линеаризацию функции по малым приращениям ее аргументов, получаем

f ( x1 ,...,x3N ,t )

dt, 0,

1,...,k

Так как

f χ (x1 ,...,x3N ,t)

0 при

1,...,k

то имеют место равенства, определяющие усдловия,

налагаемые голономными связями на

действительные перемещения точек за промежуток времени dt.

dt, 0,

1,...,k

Линейные неголономные связи налагают на перемещения точек сис=темы такие связи, непосредственно следующие из уравнений связей, если каждое из них умножить на dt.

3N
a dx a dt 0;	1,2,...,r
1

Переходя к определению условий, налагаемых на виртуальные перемещен ия, необходимо учесть, что они мыслятся как перемещения, которые может совершить система при фиксированном моменте времени и должны быть совместимы со связями в этот момент времени. Если голономные связи не зависят от времени, то реальное перемещение может совпасть с одним из возможных, а если голономные связи зависят от времени, то

действительное перемещение может не совпасть ни с одним из возможных. Чтобы перейти к записи условий, которые налагают связи на виртуальные перемещения, достаточно в условиях ()

и(0 формально поменять все dx на x dt на t 0.

В итоге получаем ограничения, накладываемые голономными и неголономными связями на возможные перемещения системы

3N	f
3N
		x	0,	1,...,k
1	x	x	0,	1,...,k
1	x
			3N
m1 m2 m3			a	x	0;	1,2,...,r
(x1 , x2 , x3 )			1
			1
			ограничения
k+r			ограничений		наложено на 3N виртуальных
			перемещений		x .	Следовательно, 3N-k-r
m4 m5	m6		независимых виртуальных перемещений..
(x4 , x5 , x6 )			Пример. 1: Связь - недеформируемый жесткий,
			тонкий стержень.

Уравнение связи (x	x1 )2	(x2	x5 )2 (x3	x6 )2	l 2 ; - голономная связь, так как не
входит скорость. Продифференцируем это уравнение
( x1	x4 )( x1	x4 )	( x2 x5 )( x1	x5 ) ( x3	x6 )( x3	x6 ) 0

Получили голономную связь, хотя в нее входят скорости, так как. эта связь интегрируемая.

Пример 2.

(x1	x4 )(x1	x4 ) (x2	x5 )(x1	x5 ) (x3	x6 )(x3	x6 ) 0	-

неголономная связь.

Уравнения Лагранжа 1-го рода

Принцип Даламбера-Лагранжа позволяет составить уравнения движения системы (уравнения Лагранжа 1-го рода) с учетом действия на нее идеальных голономных и линейных неголономных связей. Имеем

3N(X m x ) x 0

3N	f
3N
		x	0,	1,...,k
1 x		x	0,	1,...,k
1 x
3N
	a x		0;	1,2,...,r
1

Исходя из записанных равенств, нам необходимо составить уравнения движения системы в виде дифференциальных уравнений. Если бы связей не было, то из первого уравнения, можно было бы получить уравнения движения на основе того, что в таком случае все вариации

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019448.54 Кб3Теоритическая характеристика тёмной сенсорной к...docx
#
17.09.201967.58 Кб4теория алгоритмов.doc
#
21.09.20191.3 Mб1Теория ИГА.doc
#
22.11.201988.58 Кб3Теория множеств.doc
#
13.02.201515.31 Кб21Теория отраслевых рынков.docx
#
13.02.20151.55 Mб11ТеорМЕХ3куПМ.pdf
#
26.09.2019284.77 Кб6термех ответы.docx
#
17.07.2019777.22 Кб4Термодинамика.DOC
#
25.04.2019176.37 Кб15Термодинамическая система.docx
#
13.02.201593.18 Кб36Тест для подготовки к зачёту.doc
#
13.09.201932.07 Кб11тест к рейтингу по медиакультуре.docx