эл.математика

Комплексные числа

На множестве действительных чисел не всякое уравнение четной степени имеет решение. Так, например, уравнение х2+1=0 не имеет действительных корней, поскольку не существует действительного числа, квадрат которого равен числу -1. Это привело к расширению множества действительных чисел путем введения чисел новой природы. Эти новые числа называют мнимыми.

Число, удовлетворяющее равенству х2 = -1, обозначают буквой i, оно называется мнимой единицей.

Таким образом,

i2 = - 1

Комплексным числом называется упорядоченная пара чисел, где a и b — действительные числа.

Упорядоченная пара (а;b)≠(b;а)

Комплексное число определяет точку на плоскости и в алгебраической форме записывается

z=а+ib.

Числа а и ib называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа

а=Re(z), ib=Im(z).

Комплексное число можно изобразить стрелкой. Комплексно - сопряженным называется число z * = а-ib.

Операции над комплексными числами.

1)Операция сложения z1+z2 =(а1 +а2, b1 +b2).

2)Операция вычитания z1 - z2 =(а1 - а2, b1 - b2). З) Вводится комплексный ноль z + (-z) = 0.

4)Операция умножения

Как видно, операция сложения и вычитания в алгебраической форме производить удобно, а деления и умножения – нет.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

φ = arg(z) – аргумент комплексного числа (это угол отклонения в положительном направлении от действительной оси).

Пределы, в которых находится аргумент φ , определим следующим образом

–π < φ ≤ π

Так как аргумент комплексного числа функция периодическая, то определим

Arg(z) = arg(z) + 2πn, nЄz

ρ - модуль комплексного числа, расстояние от начала координат. По теореме Пифагора

поэтому, подставляя полученное в алгебраическую форму комплексного числа:

z = ρ(cos(φ) + i·sin(φ)).

Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа.

то, следовательно,

Таким образом,

ϑ = eiϑ − e−iϑ sin( )

2i

ϑ = eiϑ + e−iϑ cos( )

2

Подставив в z = ρ·i(cos(φ) + i·sin(φ))=½ρ(eiφ + e-iφ + eiφ – e-iφ) , получим показательную

(экспоненциальную) форму комплексного числа: z = ρeiφ

Теперь, представляя комплексное число в такой форме, удобно производить операции умножения, деления и возведения в степень.

z = z1z2 = ρ1ρ2ei(φ1 + φ2)

то есть, умножение сводится к изменению модуля в ρ2 раз:

ρ = ρ1ρ2

и повороте на угол φ2:

φ = φ1 + φ2

Аналогично, деление:

Возведение в целую степень:

zn = ρneinφ

Извлечение корня:

z1/n = ρ1/n·ei(φ+2πκ)*1/n

Здесь n ρ арифметический корень, а к =0, 1, 2, . .. ,n-1. Корень степени n на множестве

комплексных чисел имеет n различных значений. Исключение составляет z = 0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю.

Модуль корня n-й степени из комплексного числа равен корню той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент для каждого значения корня определяется по формуле

ϕk = ϕ + 2πk , где k=0,1,2,…,n-1 n

Пример 1 z =1 + i 3

Решение Наидем модуль числа

ρ = a 2 + b2 , тогда

cos(ϕ) = ρa = 12

sin(ϕ) = ρb = 23

следовательно,ϕ = π3 .

И, таким образом

z= 2eiπ/3

Возведем это число в 5-ую степень

z5= 25ei5π/3

При возведении в степень необходимо, чтобы аргумент оставался в пределах –π < φ ≤ π.

z5= 25ei(5π/3-2π)= 25e-iπ/3

Операция извлечения корня из комплексного числа неоднозначна.

π

z =1 + i 3 = 2 ei 3

Пример2.

Дано число z=-i Найти z-1/3

Решение

ρ = 0 +1 =1

cos(ϕ) = 0sin(ϕ) = −1

Т.е. ϕ = π2 Итак, z=e-i π/2

Uk = ei(-π/2+2πκ)(-1/3)= ei(π/6+2πκ/3)

Находим:

U0=ei π/6 U1= ei (π/6 - 2π/3)

U2 = ei(π/6+4π/3)= e-i(7π/6)= ei(5π/6)

Звезда корней (-i)-1/3:

Пример 3

Дано число z=1 Найти z1/4

Решение

ρ = 1 + 0 =1

cos(ϕ) =1sin(ϕ) = 0

Т.е. φ=0. Итак, z=e-i*0.

U k = zk 14 = ei(0+2πk )( 14 ) = ei(π 2 ) k

Находим:

Звезда корней (1)1/4:

Задания для самостоятельного решения