Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

эл.математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

382.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

45)

x − a −b

x −b − c

x −c − a

46)

c +3z

−

c − 2z

2c + z

4c2 + 6cd

9d 2

− 6cd

4c2 −9d 2

47)

x −1

+ 2n2

(1 − x)

2x −1 −

1 − x

1 + n

n −1

n4 −1

1 − n4

48)

3ab +1

−

3ab

(2a +1)x

a +1

a(a +b)2

(a +1)3

3abc

a2b2

(2a +b)b2 x

=3cx +

49) a + b

a(a + b)2

(a + b)3

50)

x + m

−

b2 x

a + b

(a +b)2

a2 −b2

− ab2

+ a2b −b3

51)

m z

m(z − m)

z(z + m)

− 2

z(z + m)

−

m(z − m)

− z2

52) a2 + x

− a2 − x =

4abx + 2a2 − 2b2

b2 − x b2 − x

b4 − x2

53)

(a + n)(anx + nx2

+ x3 )

nx2

− x

x3 + nx2 − a2 x − a2 n

n + x

x2 − a2

54)

a + x

−

a − x

+ ax + x2

ax − x2

− a2

x(a4 + a2 x2

+ x4 )

55)

= 0

+ x

a + 2x

56)

−

, гдеx

−b

≠ 0

x +b

b − x

4(x2

−b2 )

57)1 −

b2 − a2

, гдеx ≠ a

x − a

+ x2 − 2ax

58)

a −b

ab − 2b2

ac2 − 2bc2

59)

5a2

, гдеx

− a

≠ 0

x + a

x − a

4(x2

− a2 )

60)

x2 +1

−

2 x − 2n

2 − nx

61)

a − x2

a −1

, гдеa − x ≠ 0

−

(a − x)2

− ax(2a − x)

62)1 −

−b2

, гдеx − a ≠ 0

x − a

+ x2 − 2ax

63)

−

2(n + 3), гдеx2

− 4 ≠ 0

2n + nx

− x2

x3 − 4x

64) a + x − 2n

− a − 2n

=1, гдеx ≠ 0

2a − n

65)

−

a −1

=1, гдеx ≠ 0

nx − x

2 − 2nx2 + n2 x2

a − x

−

66)

+ b

, гдеx ≠ 0, x ≠ a

+ a2

− 2ax

+ x

1 − a2

67)

, где1

− x

≠ 0

1 − x2

(1 + ax)2

−(a + x)2

(a −b)2

68)(x2 −16x)2 − 2x2 + 32x −63 = 0

69)x(x +1)(x + 2)(x + 3)= 0,5625

70)x4 + x3 −10x2 + x +1 = 0

71)

x 2

x +1

, гдеx ≠ 0, x +1

≠ 0

x +1

72)

(a + x)4 + (x −b)4

a4 +b4

(a + b − 2x)2

(a + b)2

9. Правила дифференцирования

Пусть с – постоянная, u(x), v(x) и ui(x) – дифференцируемые на некотором интервале (a;b) функции, на этом же интервале справедливы формулы:

						c′= 0
				(cu)′ =cu′
(u1 + u2						′		′		′	′
(u1 + u2	+... +un )						=u1			+u2	+... + un
				′			′			′
		(uv)				=u v		+ v u
u			′			′	−uv		′
u				=	u v		−uv			,v ≠ 0

						v2
v						v2

Приведем примеры нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y = x2 + 1x

∆y′= (x2 )′ + (x−1 )′ = 2x − x−2 = 2x − x12

Формула(x−n )′ = −nx−n−1 ,n N , следует из правила дифференцирования частного, если положить u =1,v = xn . ∆

Пример 2. Найти производную функции y=x4-2x3+3x-7

∆y' = (x 4 )'−2(x3 )'+3(x)'−(7)' = 4x3 − 6x 2 + 3.∆

Пример 3. Найти производную функции y=xln(x)

∆y' = (x)' ln(x) + x(ln(x))' = ln(x) + x		1		= ln(x) +1.∆
∆y' = (x)' ln(x) + x(ln(x))' = ln(x) + x			x	= ln(x) +1.∆
			x
Пример 4. Найти производную функции				y =	2x −1	.
Пример 4. Найти производную функции				y =		.
					3 + x
∆y' =	(2x - 1)' (3 + x) (2x - 1)(3 + x)'	=		2(3 + x) (2x - 1)			=	7	.∆
∆y' =	(3 + x)2	=			(3 + x)2		=	(3 + x)2	.∆
	(3 + x)2				(3 + x)2			(3 + x)2

10. Правило дифференцирования сложной функции

Пусть у=F(u), u=u(х), у(х) = F(u(х))- сложная функция. Если функция u(х) дифференцируема в точке х0 и функция F(u) дифференцируема в точке u0 = u(х0), то сложная функция у(х) = F(u(х)) дифференцируема в точке х0 и y’(x0)=F’(u0)u’(x0) Пример 5. Найти производную функции у=(sinх+соsх)3.

∆ Полагаем здесь u(х) =sinx + cosx, у=u3 .По правилу дифференцирования сложной функции для любого х получаем

y’(x) = (u3)’u’(x)=3u2u’(x)=3(sinx+cosx)2(cosx-sinx).∆

Пример 6. Найти производную функции

Y ( X ) =		x 2	− 2x
∆ Полагая U(х)=х2-2x, получаем Y ( X ) =	u(x)		.Так как
( u )' =	1	, то имеем
2		u
Y ' ( X ) = ( u )'U ' ( X ) = 2x − 2				= x −1 ∆
	2 x 2 − 2x			x 2 − 2x

Задания для самостоятельной работы

Вычислить производные:

1) y =3x2 ; 2) y = 4x4 ; 3) y =

; 4) y =

; 5) y =

; 6) y =

; 7) y =3 x;

8) y =

; 9) y =

; 10) y =

2x; 11) y = −

3x; 12) y = x +

; 13) y = x −

2 ;

14) y =

x +3

; 15) y = 2x2 −3x + 5; 16) y =

2x3

−3x2

+ 6x −1; 17) y = 2 −

− x2 ;

18) y =3x4 ; 19)

y = 4 − x4 ; 20) y = x4

− x2 ; 21) y =

;

22) y =

;

23) y =5x4

− 7x2 − x; 24) y = x5

+ 2x3

−

;

25) y = x4 + 4x3

− x2

+ 2x −5;

+ 2x3

− 2x +5

29) y = x2

+ 2x ;

26) y =

; 27) y =

; 28) y = x7

−

;

x10

30) y = x3

x; 32) y =

; 33) y = x3

; 31) y = x

x −

; 34) y =

; 35) y = 11 ;

; 38) y = (x +

x )2 ; 39) y = (x2

; 37) y =

−1)(x2

+1);

36) y = x2

+ x

x −1

40) y =

−3x −8);

41) y =

x +

+ x +1);

; 45) y

42) y =

−

;

43) y =

; 44) y =

;

−

x +1

46) y =

x − 2

;

47) y =

x2 +1

;

48) y =

; 49) y =

−3x +1

; 50) y = x +

;

x −

x2 + x +1

2x2 −1

x2 −1

x + x

51) y =

10x4 −3x2

; 52) y =

; 53) y =

; 54) y =

;

(3x2 −1)2

(x2 −1)

x −

1 +

57) y =

55) y =3x

+ 2xx3

; 56) y =

x +

x +1

;

x +1

;

x −1

(

x −1); 59) y = x

58) y = x3

3 x 3

− x3 ;

60) y =(x − 2)

; 61) y =(x −

3) ;

−

62) y =(1 − x)5 ; 63) y =(3x − 4)9 ; 64) y =(x +1)2 −3x; 65) y =(1 − 2x)4 ;

66) y =

; 67) y =

; 68) y =5x

; 69) y =

− x; 70) y =

5x −1;

(3x +1)3

(3x + 2)3

71) y =	(x + 2)5 ; 72) y =(2x − 7)3	; 73) y = 1	; 74) y =	1	;
	1
		1 − x		1 + x

75) y = x + 2 − x − 2; 76) y =(x −1)4 (x +1)3 ; 77) y =(2x +1)3 + 5(3x −7)2 ;

2						(x −1)2	ax +b
78) y =			; 79) y =				; 80) y = cx + d	;
78) y =	(x +1)2	+1	; 79) y =			(x +3)3	; 80) y = cx + d	;
Приложение 1 (к пункту 12):
1. x→+∞			y =		e−x
1. x→+∞			y =	x +1
				x +1

Выделяем главную часть функции:

y ≈ e−x → +0. x

Изображаем на рисунке:

2. . x→ -∞

y≈e-x/x =(переходим к х = - |x|)= e-|x|/-|x|≈ - e|x|→ -∞

Изображаем соответствующее поведение функции:

x = 0

3.y =1

изобразим точку 3:

y = 0

4.x = .

Рассмотрим поведение функции вблизи точек разрыва.

5. x = - 1 + ε, ε→+0.
y =	e−( −1+ε )	=	e1−ε	≈	e	→ +∞.
y =	−1 + ε −1	=	ε	≈	ε	→ +∞.
	−1 + ε −1		ε		ε

6. x = - 1 + ε, ε→+0
y =	e−( −1+ε )	=	e1−ε	≈ −	e	→ −∞.
	−1 + ε +1		−ε		ε


7. Находим экстремумы:
Берём производную:	− e−x (x +1) − e−x (x +1)'		− e−x (x + 2)
y' =	− e−x (x +1) − e−x (x +1)'	=	− e−x (x + 2)
	(x +1)2		(x +1)2

и приравниваем её к нулю. Следовательно,

x = −2

	e	−2		1
y =	e		≈ −	1	≈ −0.14
y =	−1		≈ −	7.38	≈ −0.14
	−1			7.38

Далее можно взять вторую производную, а можно и не брать, т. к. других экстремумов нет, то гладкое соединение точек даёт рисунок:

Постоим график функции

y = x22 − | x1|3

1. x→+∞

Выделяем главную часть функции:

y ≈ x22 → +0

Изображаем на рисунке:

2. x→-∞

y ≈ x22 → −0

Изображаем соответствующее поведение функции:

3.х =0 - точка разрыва.

4.Решаем уравнение при у=0:

2	−	1			= 0 \|	x	3

x 2			x	3

2 x −1 = 0

2 x =1

x= 12

x= ± 12

y = 0

x = ± 12

Рассмотрим поведение функции вблизи точек разрыва.

5. x = 0 + ε, ε→+0

y =		2	−		1		=	2	−	1	≈	2	→ −∞
	(0	+ ε)2			+ ε	3		ε 2		ε 3		ε 2
				0

6. x = 0 - ε, ε→+0

y =

−

≈

→ −∞

−ε)2

−ε

ε 2

−ε 3

ε 2

7. Находим экстремумы:

y' =	− 4	+	3
	(x)−3			x	4

и приравниваем её к нулю. Следовательно,

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2018365.57 Кб53ЭКСПЕРТИЗА ТЕКСТИЛЬНЫХ ТОВАРОВ.doc
#
21.11.2018166.91 Кб23ЭКСПЕРТИЗА ШВЕЙНО-ТРИКОТАЖНЫХ ТОВАРОВ.doc
#
12.03.20161.16 Mб61эктеор.doc
#
18.09.2019715.26 Кб14ЭЛ МАГ КОЛЕБАНИЯ ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК.doc
#
18.09.2019286.72 Кб2Эл учпрактикум КМНО Марченко.doc
#
13.02.2015382.21 Кб47эл.математика.pdf
#
14.11.2019144.9 Кб4Электив Галич Ж.В..doc
#
12.11.2018192 Кб6электив юрфак мировая политика.doc
#
13.02.2015268.8 Кб5Элективы 3 курс 5 семестр.doc
#
13.02.2015242.69 Кб9Элективы 3 курс 6 семестр.doc
#
14.07.2019644.1 Кб17ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ.doc