4Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

4.1Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Теорема 4.1 (Теорема об оптимальном интерполяционном пространстве для весовых банаховых пар.) Пусть a(x); b(x); d(x)

дифференцируемые монотонно убывающие на [0; +1) функции такие, что

a(0) = 1; b(0) = 1; d(0) = 1

и 8x > 0 b(x) 6 d(x) 6 1: Обозначим c(x) = d(b 1(a(x))): При p > 1 тройка пространств

(Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1)); Lp(d(x); (0; +1)))

является интерполяционной относительно тройки

(Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)); F )

тогда и только тогда, когда

Lp(c(x); (0; +1)) F;

69

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

где F банахово пространство. Т. е. пространство Lp(c(x); (0; +1))

является оптимальным интерполяционным пространством.

Доказательство.

Согласно лемме 3.3, оптимальное интерполяционное пространство можно рассматривать как сумму орбит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); L1(a(x); (0; +1))))

элементов g(x) пространства E = Lp(d(x); (0; +1)); которое для

S

краткости обозначим Orb(g(x)) с нормой k kSOrb(g(x)):

g(x)2E

Возьмём f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)) и покажем, что существует g~(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) такой, что f(x) принадлежит орбите

Orb(~g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

1

В качестве такого g~(x) положим g~(x) = f(a 1(b(x))) (a 1(b(x)))0 p ;

тогда, так как lim a 1(b(x)) = +1 и lim a 1(b(x)) = 0; то

g~(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)):

70

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Рассмотрим предел

А для предела

71

следовательно,

72

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Тогда, согласно следствию ??,

sup K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1; t>0 K(p;p)(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

а по лемме 3.5

sup K(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1: t>0 K(t; g~(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

Это означает, что f(x) является элементом K орбиты g~(x); а по теореме 3.2 и элементом орбиты g~(x):

S

Покажем теперь, что норма пространства Orb(g(x)) мажо-

g(x)2E

рируется нормой пространства Lp(c(x); (0; +1)):

что

g(x) = f(a 1(b(x))) ((a 1(b(x)))0)p1 :

Так как для норм выполняются следующие равенства:

73

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

и

+1

Z

k ~ kp j jp p

T g(x) Lp(a(x);(0;+1)) = f(x) a (x) dx =

0

+1

Z

=jf(a 1(b(x)))jp (a 1(b(x)))0 bp(x) dx = kg(x)kpLp(b(x);(0;+1));

0

~

то оператор T является непрерывным как действующий из банахо-

вой пары Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1)) в банахову пару Lp(0; +1); Lp(a(x); (

0

= kf~(x)kLp(c(x);(0;+1)):

Тем самым, доказано вложение Lp(c(x); (0; +1)) в оптимальное интерполяционное пространство.

Покажем теперь, что сумма орбит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

по всем g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) вложена в пространство Lp(c(x); (0; +1)). Покажем, что для любой функции

g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1))

орбита

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))))

74

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

вложена в Lp(c(x); (0; +1)). Возьмём функцию f(x); принадлежащую орбите

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))));

и сначала докажем, что f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)):

Так как

sup K(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1)) < +1; t>0 K(t; g(x); Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))

то

справедливое для положительных чисел, приходим к выводу, что сходится, по крайней мере, один из двух пределов

a 1(b(v))

Rjf(x)jpdx

0

lim v

v!1 R

jg(x)jp dx

0

и

+1

Rjf(x)jpap(x)dx

75

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

В первом случае получаем 9D1 > 0; 9v0 > 0 8v > v0 :

Увеличив константу D1; можно добиться чтобы неравенство было верно для любого положительного v. Тогда, так как d(x) монотонно убывает и положительна, то согласно лемме 3.8 получаем 8v > 0

или, переходя к пределу при v ! 1;

kf(x)kpLp(c(x);(0;+1)) 6 D1 kg(x)kpLp(d(x);(0;+1)):

Во втором случае

a 1(b(u))

Rjf(x)jpap(x)dx

Тогда, для любого измеримого множества A (u0; +1) полу-

76

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Следовательно, почти всюду на интервале (u0; +1) выполняется

jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0bp(x) 6 D2 jg(x)jpbp(x) )

jf(a 1(b(x)))jpbp(x)(a 1(b(x)))0 6 D2 jg(x)jp ) jf(a 1(b(x)))jp(a 1(b(x)))0dp(x) 6 D2 jg(x)jpdp(x):

Из этого следует, что

где v0 = a 1(b(u0)) и, переходя к пределу при u ! 1; получим

jf(x)jpcp(x) dx 6 D2 jg(v)jpdp(v) dv 6 D2 kgkLp(d(x);(0;+1)) < +1:

Это означает, что

f(x) 2 Lp(c(x); (0; +1)):

77

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.

Покажем теперь, что норма орбиты g(x) мажорируется нормой пространства Lp(c(x); (0; +1)); т. е.

9C > 0 : k kOrb(g(x)) 6 Ck kLp(c(x);(0;+1)):

Предположим, что это не так, тогда существует последовательность fyng1n=1 элементов пространства Lp(c(x); (0; +1)) такая, что

1

kynkOrb(g(x)) 6 2n kynkLp(c(x);(0;+1)):

Обозначим

1

f =

X jynj

n=1 kynkLp(c(x);(0;+1))

и проверим, что f является элементом орбиты

т.е. f не является элементом пространства Lp(c(x); (0; +1)): Что противоречит доказанному выше. Следовательно,

9C > 0 : k kOrb(g(x)) 6 Ck kLp(c(x);(0;+1)):

Поэтому справедливо вложение орбиты элемента g(x) в пространство

78

4.1 Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.

Lp(c(x); (0; +1)): Тогда, согласно [1] (см. стр. 29–31), сумма ор-

бит

Orb(g(x) : (Lp(0; +1); Lp(b(x); (0; +1))) ! (Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))));

по всем g(x) 2 Lp(d(x); (0; +1)) вложена в пространство Lp(c(x); (0; +1)). Теорема доказана.

79