Теория игр / Петросян_Теория_игр

ляет осуществить попятную рекуррентную процедуру нахождения значения игры и оптимальных стратегий игроков. Действительно, пусть значения всех подыгр Tz длиной l(z)^k— 1 известны и равны

в формулах (3.3), (3.4) известны, поскольку соответствующие подыг­ ры имеют длину не более чемfe—1. Эти же формулы указывают способ построения оптимальных стратегий игроков. Действитель­

максимально. Если жеуеХ2, то игрок 2 (минимизирующий) должен выбрать позицию zeFy, для которой значение следующей подыгры минимально.

В случае, когда выборы игроков в антагонистической многоша­ говой игре чередуются (поочередная игра), уравнения (3.3), (3.4) могут быть записаны в виде одного уравнения. Действительно, рассмотрим подагру Г, и пусть, для определенности, хеХх. Тогда

в следующей позиции ходит игрок 2 или эта позиция является (игра поочередная) окончательной, т. е. Fx с Х2 \J X3. Поэтому можно

Уравнения (3.8), (3.9) эквивалентны и должны рассматриваться

сначальным условием « (х) |,6^2=Н1 (х).

3.4.Теорема п. 2.1, рассматриваемая применительно к антагони­ стическим поочередным многошаговым играм, позволяет утверж­ дать существование ситуации равновесия в «шахматах», «шашках»,

вклассе чистых стратегий, а уравнения (3.8), (3.9) показывают путь для нахождения значения игры. Вместе с тем очевидно, что никогда

вобозримом будущем решение указанных функциональных уравне­ ний для нахождения значения игры и оптимальных стратегий не будет реализовано на ЭВМ и мы так и не узнаем, может ли

190

какой-либо игрок «белый» или «черный» гарантировать победу в любой партии или всегда возможна «ничья»? Однако в шахматах и шашках делаются небезуспешные попытки построения прибли­ женно оптимальных решений путем создания программ, думающих на несколько шагов вперед, и использования всевозможных (полу­ ченных, как правило, эмпирическим путем) функций оценки текущих позиций. Такой подход возможен и при исследовании общих ан­ тагонистических многошаговых игр с полной информацией. После­ довательное итерирование оценочных функций на несколько шагов вперед может привести к желательным результатам.

§4. СТРАТЕГИИ НАКАЗАНИЯ

4.1.В п. 2.1 доказано существование ситуации абсолютного равновесия (по Нэшу) в многошаговых играх с полной информаци­ ей на конечном древовидном графе. В то же время при исследова­ нии конкретных игр этого класса можно обнаружить целое семейст­ во ситуаций равновесия, сужения которых необязательно являются ситуациями равновесия во всех подаграх исходной игры. К числу таких ситуаций равновесия относятся равновесия в стратегиях нака­ зания. Проиллюстрируем это понятие на примере.

Пример 5. Пусть игра Г происходит на графе, изображенном на рис. 19. Множество N={1, 2} состоит из двух игроков. Как и в при­ мере п. 2.2, на рис. 19 кружками изображены вершины, состав­ ляющие множество Хи квадратиками — множество Х2. Вершины графа перенумерованы двойными индексами, дуги — одинарными.

Нетрудно убедиться в том, что ситуация и\ = {\, 1, 2, 2, 2), и*2 = {\, 1) является абсолютно равновесной в игре Г. При этом выигрыши

весной в игре Г, но не является абсолютно равновесной. Действи­ тельно, в подагре Гх 4 сужение стратегии Лх диктует игроку 1 вы­ бор левой дуги, что не является для него оптимальным в позиции 1.4. Такое действие игрока 1 в по­ зиции 1.4 можно интерпретиро­ вать как угрозу «наказания» игро­ ка 2, если он отклонится от жела­ тельного для игрока 1 выбора ду­ ги 2 в позиции 2.2, лишив тем

191

самым игрока 1 максимального выигрыша 10 единиц. Однако по существу такую угрозу «наказания» едва ли следует считать действенной, поскольку наказывающий (игрок 1) при этом сам может потерять в выигрыше пять единиц (действуя не оптимально в Г\ J.

4.2. Дадим строгое определение стратегий наказания. Для про­ стоты ограничимся случаем неантагонистической игры двух лиц. Пусть задана неантагонистическая многошаговая игра двух лиц

r = <UvU2,KvK2).

С игрой Г свяжем две антагонистические игры Г2 и Г2 следующим образом. Игра Гх — это антагонистическая игра, построенная на основе игры Г, в которой игрок 2 играет против игрока 1, т. е. К2=—К1. Игра Г2 — это антагонистическая игра, построенная на основе игры Г, в которой игрок 1 играет против игрока 2, т. е. К1 = —К2- Графы игр Г15 Г,, Г и множества стратегий в них совпадают. Обозначим через (и\х, и21) и (и'п, и'22) ситуации абсолют­ ного равновесия в играх 1\ и Г2 соответственно. Пусть Tix, Г2х —

подыгры игр Г\, Г2; vt(x), v2(x)— значения этих подыгр. Тогда

Определение. Стратегия йх(-) называется стратегией нака­ зания игрока 1, если:

Стратегия й2(*) называется стратегией наказания игрока 2, если:

где иД-) диктует выбор следующей позицииt z'k+u отличной от выбора, диктуемого стратегией и ^ ) , т. е. z'k+i^zk+i. Тогда из

192

Аналогично, если игрок 2 использует стратегию ы2(") л л я которой позиция zkeZ(~]X2 является первой в пути Z, где и2(') диктует

выбор следующей позиции z'k+u отличной от диктуемой стратегией й2('), т. е. z'lc+i^Zk+i, то из определения наказывающей стратегии

йл (•) следует, что

^(SiOWO)^**)- (4-4)

Отсюда, в частности, получаем следующую теорему.

Теорема. Пусть (2Х (•), и2 ()) — ситуация в стратегиях нака­ зания. Для равновесности ситуации (ы1(-), м2(')) достаточно, что­ бы для всех fc=0, 1, ..., /—1 выполнялись неравенства

где z0, z1( .... zt — путь, реализовавшийся в ситуации (й^ (•), и2 (•)).

4.4. Пусть и'ц(-) и Ми(') — оптимальные стратегии игроков 1 и 2 во вспомогательных антагонистических играх Г1 и Г2 соответ­ ственно и Z = {z0, zlf .... z,}—путь, соответствующий ситуации

(и'ц (•), Ии (• ^Предположим, что стратегии наказания t^ (•) и й2 (•) таковы, что м1(гл) = м1,(5л) для zkeZf]Xt и й2(г*) = Ы22&) для zkeZf]X2. Тогда ситуация («].(•)» й2(-)) образует ситуацию равно­ весия по Нашу в стратегиях наказания. Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что

K2(UnC), и22(-))=К2{й1{-), й2(-))>*2&)> fc=0, l, . . . / - 1 ,

и воспользоваться теоремой п. 4.3. Неравенства (4.6) следуют из оптимальности стратегий м1] (-)им22 (')в играх Г\ и Г2 соответст­ венно, обоснование предлагаем в качестве упражнения. Таким об­ разом, получена следующая теорема.

Теорема. В игре Г всегда существует ситуация равновесия в стратегиях наказания, при этом выигрыши в этой ситуации равны ^|(мп(")> м22('))> где м*,(-) и и\2{') — оптимальные стратегии иг­ роков 1 и 2 во вспомогательных антагонистических играх Гх и Г2 соответственно.

193

Смысл стратегий наказания заключается в том, что игрок заста­ вляет партнера придерживаться определенного пути в игре (опреде­ ленных выборов), используя постоянную угрозу переключения на стратегию, оптимальную в антагонистической игре против партне­ ра. Множество ситуаций равновесия в классе стратегий наказания достаточно представительно, однако эти стратегии не следует счи­ тать очень «хорошими», поскольку, наказывая партнера, игрок может еще сильнее наказать самого себя.

§ 5. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Важнейшим подклассом неантагонистических многошаговых игр являются иерархические игры. Иерархические игры моделируют конфликтно управляемые системы с иерархической структурой. Та­ кая структура определяется последовательностью уровней управле­ ния, следующих друг за другом в порядке определенного приорите­ та. В математической постановке иерархические игры классифици­ руются по числу уровней и характеру вертикальных связей. Про­ стейшей из них является двухуровневая система, схема которой изображена на рис. 20.

5.1. Двухуровневая конфликтно управляемая система функци­ онирует следующим образом. Управляющий (координирующий) центр А0, находящийся в первом уровне иерархии, выбирает вектор u=(u1,..., м„) из заданного множества управлений U, где ut — управ­ ляющее воздействие центра на подчиненные ему подразделения Д,

/ = 1 , 2, ..., п, находящиеся на втором уровне иерархии. В свою очередь, Д, i= 1, ..., и, выбирают управления «,е Г,(и,), где Vi(u,) —

множество управлений подразделения Д, предопределенное управ­ лением и центра А0. Таким образом, управляющий центр имеет право первого хода и может ограничивать возможности подчинен­ ных ему подразделений, направляя их действия в нужное русло.

194

— множество стратегий игрока А0 в игре Г. Вектор щ будем ин­ терпретировать как набор ресурсов / наименований, выделяемых центром А0 для i'-го производственного подразделения.

Пусть в исходной задаче п. 5.1 каждый из игроков Д, зная выбор А0, выбирает вектор vte Vi(ui), где

VAud^faelfivtA^Ut+a,, v,>0}. (5.1) Вектор v, интерпретируется как производственная программа 1-го производственного подразделения по различным видам продукции; At — производственная или технологическая матрица i-ro произ­ водственного подразделения (4,^0); <х( — вектор наличных ресурсов г-го производственного подразделения (<х,^0).

Под стратегиями игрока Д в игре Г будем понимать множество функций »,(•)> ставящих в соответствие каждому элементу ы,: (ы1(..., «,, .... м„)е Uвектор »,(ы;)е Vt(ui). Множество таких функций будем обозначать через V„ i=l, ..., п.

Определим функции выигрышей игроков в игре Г. Для игрока А0 функция выигрыша имеет вид

л

Ко(и, «!(•), ...,«»(•))= Е * »'("')>

где в,>0, ateRm — фиксированный вектор, /=1, ..., л; a(Vi(Ui) — ска­ лярное произведение векторов а, и к,(и(). Функцию выигрыша игрока Д полагаем равной

где с,>0, Cje.Rm — фиксированный вектор, i=l, ..., и.

Таким образом, игра Г имеет вид Г=(С/, Vv .... F„, K0, Kv .... .£„).

5.3. Построим ситуацию равновесия по Нэшу в игре Г.

Пусть ю,*(м()е Vt(u,) — решение задачи параметрического линей­

195

Для простоты предполагаем, что максимумы в (5.2) и (5.3) достигаются. Заметим, что (5.3) — задача нелинейного програм­ мирования с существенно разрывной целевой функцией (максимиза­ ция ведется по и, a v'(u,), вообще говоря, — разрывные функции

параметра и,). Покажем, что точка (и*, «[(•), ..., v*n()) является ситуацией равновесия в игре Г. Действительно,

К0(и*. v\0, ..., v*())>K0(u, .;(.), ..., «JO), ue U.

Далее, при всех /= 1, ..., п справедливо неравенство

К,(и*. «!(•), ..., v'„()) = ct v'i(u')^Ci «,(«*) =

=Kt(u*, •!(.), ..., «*-i(), «<(•), «*+i(), -., v'„())

для любой »,(•)£ Vt. Таким образом, никому из игроков А0, Вх, ....

Ви невыгодно в одностороннем порядке отклоняться от ситуации

(и*. «!(•), -ч ««(•))> т- е- о н а является равновесной. Заметим, что эта ситуация также устойчива против отклонения от нее любой ко­ алиции Sc{Bl,.... В„}, поскольку выигрыш Kt i-ro игрока не зависит

от стратегий vj(),je{l, ..., n},j¥=i.

§6. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ (КООПЕРАТИВНЫЙ ВАРИАНТ)

Вэтом параграфе рассматривается кооперативный вариант ряда простейших иерархических игр (в том числе игры, определенной

вп. 5.1, 5.2). Строятся характеристические функции и исследуются условия существования непустого С-ядра.

6.1. Исходя из содержательного смысла задачи п. 5.1, 5.2 и с ис­ пользованием стратегией, образующих равновесие по Нэшу, для каждой коалиции S<=.N= {А0, Bv .... В„} определим ее гарантирован­ ный доход v (S) следующим образом:

»i:BeS

196

где v*(u,), i= 1,..., и — решение задачи параметрического линейного программирования (5.2).

Равенство (6.1) имеет место, поскольку коалиция {Blt ..., В„}

может добиться получения нулевого выигрыша игроком А0, выби­ рая все v,=0, 2 = 1, ..., л; равенство (6.2) справедливо, так как игрок

А0 всегда может гарантировать для S выигрыш не более чем (6.2), направляя каждому Д е 5 нулевой ресурс; равенство (6.3) имеет

место, поскольку коалиция S, содержащая в своем составе А0, всегда может обеспечить распределение всего ресурса только между своими членами.

Пусть S — произвольная коалиция, содержащая А0. Обозначим через и=(и\, ..., и'„) вектор, доставляющий максимум в задаче нелинейного программирования (6.3) (для i'.BrfS выполнено усло­ вие И(=0). Тогда для любой коалиции S<zS, 5фА0, А0еS справед­ ливо следующее выражение:

197

где u = uN. Вектор £ является дележом, поскольку выполнены следу­ ющие сотношения:

fc—0 i - 1

л

2){o=I>.e?(Ui)>0=«0*o).

^=c,«;(«i)>c,i;*(0)=i;(5(), / = 1 , ..., п.

Напомним условие принадлежности дележа С-ядру. Согласно теореме п. 10.1 гл. III необходимым и достаточным условием принадлежности дележа (£0, £t, ..., £„) С-ядру является выполнение

для всех коалиций Scz{A0, Вх, .... В„}.

Выведем условие, при котором дележ £' принадлежит С-ядру. Если S={A0], либо S e ^ , ..., В„}, то условие (6.5) выполнено,

поскольку

£0=2>^(".)>0=*({Л0}),

i - l

Х&= Е<^&)> I c,*;(o)=e(s).

/Е5 i-.BjeS i-.BidS

Если i40 e5/^0 , то условие (6.5) можно записать в виде

Следовательно, дележ (6.4) принадлежит С-ядру, если для всех S:A0eSвыполнено неравенство

£ а,«;(й,)> £ (a,+cf) [«'("О-v.'("Л-

Заметим, что в данном случае мы определили характеристичес­ кую функцию игры, используя выигрыш в ситуации равновесия по

198

Нэшу, и величина v(N)=ma.x £ (a,+ci)v'(u), вообще говоря, мень-

(в этом отличие от принятого в гл. III определения характеристичес­ кой функции).

и коалицией остальных игроков N\S. Построим теперь характери­ стическую функцию именно таким образом. При этом несколько обобщим предыдущую задачу, введя в рассмотрение произвольные функции выигрышей участников игры.

Как и ранее, будем предполагать, что центр А0 распределяет ресурсы между подразделениями Blt.... В„, которые используют эти

ресурсы для производства продукции. Выигрыши управляющего центра А0 и «производственных» подразделений Б1,..., В„ зависят от

продукции, производимой Bt, .... В„. Вектор ресурсов, имеющийся

в распоряжении центра А0, обозначим через Ь. Центр (игрок) А0 выбирает систему и векторов и=(ц1, .... ип) из множества

я

U={u=(u1, ..., Un):uk>0, икев!, £ы*«$6, к=Т7п}.

* - i

Здесь ик интерпретируется как вектор ресурса, выделяемый центром А0 производственному подразделению Вк. Возможности предпри­ ятия (игрока) Вк определяются ресурсом ик, получаемым от А0, т. е. предприятие Вк выбирает свою производственную программу хк из

множества Bk(uk)<zfT неотрицательных векторов. Будем предпола­ гать, что множества Вк(ик) при всех щ содержат нулевой вектор и монотонно возрастают по включению, т. е. из ик>ик следует

Вк{и'к) •=>Вк(ик), кроме того, выполнено условие Вк(0) = 0 (невозмож­ ность производства при отсутствии ресурсов).

Пусть x=(xlt .... хп). Выигрыш игрока А0 определяется с помо­ щью неотрицательной функции /0 (х)^0, а выигрыши игроков Вк по­ лагаем равными 1к(хк)^0, к=\, ..., п (выигрыш игрока Вк зависит

199