Теория игр / Петросян_Теория_игр

игру в случае, когда множество S совпадает с отрезком [—1, 1]. Теорема. Оптимальная смешанная стратегия v* игрока 2 за­

ключается в равновероятном выборе двух наборов из т точек:

Оптимальная стратегия ц* игрока 1 состоит в выборе точек

Ъп-\ -, /=0, 1, ...,2т-1

с вероятностями 1/(2/и). Значение игры равно 1/(2/и— 1). Доказательство. Пусть р* и v* — смешанные стратегии иг­

роков 1 и 2 соответственно, оптимальность которых нужно до­ казать. Введем следующие обозначения:

Из неравенств (6.8), (6.9) вытекает утверждение теоремы.

100

§ 7. ОДИН КЛАСС ИГР С РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫИГРЫША

Для игр, у которых функции выигрыша разрывны, нельзя гаран­ тировать существование значения игры в смешанных стратегиях (см. пример п. 4.12). Однако часто именно разрывность функции выигрыша позволяет найти оптимальные стратегии и значение иг­ ры. Нахождению решения помогают также эмпирические предполо­ жения о виде оптимальных стратегий игроков.

7.1. В данном параграфе будут исследованы игры с выбором момента времени или игры типа дуэли (см. примеры 4.5 п. 1.2). Основной особенностью этого класса игр на квадрате является разрывность функции выигрыша Н(х, у) вдоль диагонали х=у.

Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша

{ср(х), если х=у, в(х, у), если х>у,х<у,\1/(х, у), если

где ф(х, у) — определена и непрерывна на множестве 0<х<^<1, функция (р непрерывна на [0, 1], а в(х, у) определена и непрерывна на множестве 0<j><;c< 1. Предположим, что игра Г=(Х, Y, Н), где Аг=У=[0, 1], Н—задана (7.1), имеет оптимальные смешанные стратегии ц*, v* игроков 1 и 2 соответственно. Более того, пред­ положим, что оптимальные смешанные стратегии /х*, v* являются распределениями вероятностей, которые имеют непрерывные плот­ ности /* (х) и g* (x) соответственно.

Далее в этом параграфе будем обозначать искомую стратегию / (соответственно g), понимая под этим плотность распределения. Выясним свойства оптимальных стратегий.

Пусть/— стратегия игрока 1. Для уе[0, 1] имеем

где v — значение игры. Но равенство (7.3) строгое, поэтому суще­ ствует <5>0 такое, что для всех у: \у—у0\<5, неравенство (7.3) сохраняется. Таким образом, для этих у сохраняется и неравенство (7.4), т. е. выполняется равенство K(f, y)=v. Это означает, что

101

У

Следовательно, получено интегральное уравнение (7.6) относите­ льно искомой стратегии/

7.2. Пример 16. Рассмотрим бесшумную дуэль, сформулирован­ ную в примере 5 п. 1.2. Функция выигрыша Н(х, у) в игре имеет вид (7.1), где

Заметим, что данная игра является симметричной, поскольку Н (х, у)=—Н(у,х) (кососимметричная функция выигрыша). Поэто­ му анализ, аналогичный проведенному в п. 9.2 гл. 1, показывает, что значение v игры, если оно существует, равно нулю, а оптимальные стратегии игроков (если они также существуют) должны быть оди­ наковыми.

Имеем: ф,(зс,у)= - 1 +х; ву(х, у)= - 1 -х;

и интегральное уравнение (7.6) принимает вид

где у — некоторая константа.

102

Игра является симметричной, поэтому v = 0, а оптимальные стратегии игроков совпадают. Здесь оба игрока имеют чистую оптимальную стратегию ;с*=>>* = 1/2. Действительно,

#(1/2, у)=6 (1/2, у) = 1 -2у> О, если у < 1/2, Я(1/2, у)=ср (1/2) = 0, если у= 1/2, Я(1/2, у)=ф(112, у)=0, если у>1/2.

С точки зрения интерпретации игры решение предписывает дуэлян­ там стрелять одновременно, когда каждый пройдет половину диста­ нции до барьера.

В заключение следует отметить, что класс игр с выбором момен­ та времени хорошо изучен (см. [6, 3, 23]).

§ 8. РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ ОДНОВРЕМЕННЫХ ИГР ПОИСКА

В этом параграфе будет приведено решение игр поиска с бес­ конечным числом стратегий, сформулированных в п. 1.2. Первая из рассматриваемых игр интересна тем, что в ней оба игрока имеют оптимальные смешанные стратегии с конечным спектром.

8.1. Пример 18. (Поиск на отрезке). Рассмотрим задачу поиска на отрезке (см. пример 2 п. 1.1), которая моделируется игрой на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х, у) вида

Заметим, что при /> 1/2 у игрока 1 имеется чистая оптимальная: стратегия х* = 1/2 и значение игры равно единице, поскольку в этом случае Н(х*, у)=Н(1/2, у)=1, так как \у-1/2|^ 1/2^/_для всех уе[0, 1]. Предположим, что /< 1/2. Заметим, что стратегия х=1 доминиру­ ет все чистые стратегии х<1, а стратегия x=l — I — все стратегии х> 1—1. Действительно,

Щх,у)=Н(1,у)=\1пПрЯуе[°>Ц>

(О в противном случае,

и если х<1, то

Щх,у)=\1пПрЯуе[°>1+Х]'

(О в противном случае.

Таким образом, при х<1: Н(х, у)^Н(1, у) для всех уе[0, 1]. Анало­ гично имеем

[О в противном случае,

104

и если хе[1 —I, 1], то

H(x,y)=Sn \\ при уе[х—1, 1],

О в противном случае.

Таким образом, при хе[1 — /, 1] Н(х, у)^Н(1 —/, у) для всех>>е[0, 1]. Рассмотрим следующую смешанную стратегию ц* игрока ).

Пусть l=xl<x2<...<xm=l — I — точки, для которых расстояние

между любой парой соседних точек не превосходит 21. Стратегия ц* выбирает каждую из этих точек с равными вероятностями \\т. Очевидно, что при этом любая точка уе[0, 1] попадает в /-окре­ стность хотя бы одной точки хк. Следовательно,

К(ц*,у)>11т. (8.2) Пусть теперь v* — стратегия игрока 2, которая состоит в равнове­

между парой соседних точек больше 21. Тогда, очевидно, существует не более одной точки ук, в /-окрестности которой содержится точка

х. Следовательно,

Если бы удалось построить стратегии ц*, v* так, чтобы т=п, то величина 1/и была бы значением игры, а стратегии ц*, v* — оп­ тимальными стратегиями игроков.

Оказывается, такие стратегии действительно можно построить. Для этого достаточно взять

J1/(2/), если 1/(2/) — целое,

строго больше 21. Таким образом, 1/и — значение игры, а опти­ мальные стратегии ц*, v* являются равновероятными смесями чис­ тых стратегий, определяемых формулами (8.5), (8.6).

8.2. Пример 19. Рассмотрим обобщение предыдущей задачи в том случае, когда игрок 1 (ищущий) выбирает систему из s точек *!, .., xs, х,е[0, 1], i=l, ..., s, а игрок 2 (прячущийся) выбирает

105

Предположим, что игрок 1 располагает точки х1г ..., х„ в точках Xi=l+{\—2l)(i—\)l{n — \), 1</^и, являющихся точками спектра

стратегии fi* из предыдущего примера. Очевидно, что располагать две точки хЛ, х]г в одной точке отрезка [0, 1] (т. е. выбирать

совпадающие точки) невыгодно. Пусть ц, — стратегия игрока 1,

выбирающая равновероятно любые 5-наборы не равных друг другу точек {3CJ}. Если s^n, то, расположив в каждой из точек х\ по точке

Xj, игрок 1 полностью покроет отрезок [0, 1] интервалами длины 2/ с центрами в точках Зс, и тем самым обеспечит, что для любой точки

уе[0,1] будет иметь место min \xj—j>|</, т. е. в этом случае значение

игры равно единице. Поэтому будем считать, что s<n. Число всевозможных различных выборов ^-наборов точек из множества {х,} равно Q. Имеем

/-окрестность хотя бы одной из выбранных стратегией (if точек {Зс,}.

Для того чтобы это произошло, необходимо игроку 1 выбрать точку xt из /-окрестности точки у. Число наборов, удовлетворяющих

этому требованию, не менее C„Z\.

Предположим теперь, что игрок 2 использует стратегию v* из предыдущего примера, а игрок ] — произвольную чистую страте­ гию x=(xv ..., xs). Тогда

Таким образом, значение игры равно sin и ц*, v* — оптимальные стратегии игроков. Значение игры линейно зависит от количества выбираемых ищущим игроком точек.

106

8.3. Пример 20. (Поиск на сфере). Рассмотрим игру поиска на сфере (см. пример 3 п. 1.2). Функция выигрыша Н(х, у) имеет вид

{1, если уеМх,

(8.8)

О в противном случае,

S

где х={х1У ..., х, — набор s точек на сфере С и Ms= \J S(xj, г); S(XJ, r) — г-

сферическая окрестность точки Xj. Множество смешанных стратегий игрока 1 пред­ ставляет собой семейство вероятностных мер {М}, определенных на декартовом произведении s сфер Сх Сх... х C—Q, т. е. на fl=C.

Множество смешанных стратегий игрока 2 определим как семейство вероятност­ ных мер {v}, определенных на сфере С.

Рассмотрим конкретную пару стратегий (p.*, v*). В качестве стратегии v* выберем равномерную меру на сфере С, т. е. потребуем, чтобы

порождается случайным бросанием этой фигуры Мх на сферу С. Для этого в фигуре Мх фиксируется некоторая внутренняя точка z, с которой жестко связываются два

неколлинеарвых вектора а, Ъ (с углом tp>0 между ними), расположенных в касатель­ ной плоскости к Мх в точке z.

Точка z «бросается» на сферу С в соответствии с равномерным распределением, т. е. плотностью 1/(4яА2). Пусть в результате реализуется точка / е С . Фигура Мх с фиксированными на ней векторами параллельно переносится на сферу С так,

чтобы точки z и z7 совпали. Таким образом, векторы а, Ъ будут лежать в касательной плоскости к сфере С в точке т!.

Затем на промежутке [0, 2п] выбирают в соответствии с равномерным рас­ пределением угол <р\ и вектор b в касательной плоскости поворачивают вместе со связанной с ним фигурой Мх на угол ц> по часовой стрелке. В результате фигура

Мх и вектор Ъ переходят в новое положение на сфере С. Случайное размещение множества Мх на сфере в соответствии с описанной двухэтапнои процедурой и поро­ ждает случайный выбор точек x!v x!2, ..., x"s, соответствующих смешанной стратегии ц*, а именно: игрок / выбирает точки У,,..., У еС, в которых оказались центры хи ..., х~, сферических окрестностей S(xj, г), составляющих множество Мх.

Мера ц*, построенная таким образом, оказывается инвариантной, т. е. вероят­ ность покрытия множеством Мх любой точки уе С не зависит от у*. Действительно,

107