Теория игр / Петросян_Теория_игр

4°. Если в игре Г существует ситуация равновесия, а х — максиминная и у — минимаксная стратегии соответственно 1 и 2 иг­ роков, то (х, y)eZ (Г) — ситуация равновесия, и наоборот.

Выясним, выполняются ли эти свойства для биматричных игр. Пример 7. Рассмотрим игру «семейный спор» (см. пример 1 и п.

1.4). Как уже отмечалось, в ней есть две равновесные ситуации (а1; /?х) и (<х2, ft2)- Однако 1-я ситуация выгодна игроку i, a 2-я — игроку 2. Это противоречит (2.6), поскольку выигрыши игроков в этих ситуациях различны. Далее заметим, что, несмотря на равновес­ ность ситуаций (аи /?х), (<х2, j82), пары (ах, /?2) и (а2, р\) не являются ситуациями равновесия по Нэшу, т. е. не выполнено свойство 2 (см. (2.5)).

Если игрок 1 информирует партнера о намерении выбрать стра­ тегию ах и если игрок 2 убежден, что тот будет упорствовать, то ему ничего не остается, как объявить первую стратегию /?х. Аналогич­ ные рассуждения можно провести и за игрока 2. Таким образом, каждому из игроков выгодно первому объявить свою стратегию, что противоречит свойству 1° для антагонистических игр.

Предположим, что игроки не общаются до начала игры, а дела­ ют выбор одновременно и независимо друг от друга (как и предус­ мотрено правилами бескоалиционной игры). Проведем рассужде­ ния за игрока 1. Ему выгодно, чтобы реализовалась ситуация (<xl5 Pt). Но игроку 2 выгодна ситуация (<х2, /?2). Поэтому, если игрок 1 выберет стратегию at, то игрок 2 может выбрать стратегию /?2, и они оба проиграют (вектор выигрышей (0, 0)). Тогда игроку 1 имеет смысл выбрать стратегию а2, поскольку в ситуации (<х2, fy он получает выигрыш 1. Но игрок 2 может рассуждать аналогично и выбрать Ри тогда в ситуации (а2, /?х) они оба опять проиграют.

Таким образом, имеет место случай, когда ситуация выгодна (и поэтому неустойчива) для игрока 1. Аналогично (с точки зрения игрока 2) можно исследовать ситуацию (<х2, /?2). Поэтому игрокам выгодно общаться перед началом игры и договариваться о совмест­ ном плане действий, что противоречит свойству 3°. Затруднения возникают также из-за того, что пара максиминных стратегий не является равновесной.

Таким образом, мы имеем пример игры, когда не выполнено ни одно из свойств 1° — 4° антагонистической игры.

Итак, в различных ситуациях равновесия по Нэшу векторы выигрышей игроков могут быть различны. Кроме того, множество ситуаций равновесия по Нэшу в отличие от множества ситуаций равновесия в антагонистической игре не является прямоугольным.

Если х=(хи ..., xh ..., х„) и x' = (jti, ..., x'j, ..., х'л) — две различные

ситуации равновесия, то ситуация х", состоящая из стратегий, кото­ рые образуют ситуации х и х', и не совпадающая ни с одной из этих ситуаций, равновесной может не являться. Ситуация равновесия по Нэшу является множественным принципом оптимальности в том

120

смысле, что различные ситуации равновесия могут быть в разной степени предпочтительными для различных игроков. Таким обра­ зом, остается не решенным вопрос: какую из ситуаций равновесия можно принять как устраивающий всех игроков принцип оптималь­ ности? В дальнейшем будет показано, что множественность принци­ па оптимальности является существенной характерной чертой оп­ тимального поведения в конфликтных управляемых процессах со многими участниками.

Заметим также, что в отличие от антагонистического случая равновесная стратегия i-го игрока JC* далеко не всегда обеспечивает получение, по крайней мере, выигрыша Я;(х*) в ситуации равнове­ сия по Нэшу, поскольку это существенно зависит от того, выберут ли остальные игроки стратегии, входящие в данную ситуацию равновесия по Нэшу. Поэтому равновесную стратегию не следует трактовать как оптимальную стратегию f-го игрока. Такая трактов­ ка осмыслена только для набора стратегий игроков, т. е. для ситуаций.

2.3. Важная особенность ситуации равновесия по Нэшу заключа­ ется в том, что отклонение от нее двух игроков и более может привести к увеличению выигрыша одного из отклонившихся иг­ роков. Пусть S с N — некоторое подмножество множества игроков (коалиция) и пусть x=(xt, ..., х„) — ситуация в игре Г. Обозначим

через (х\\х'л) — ситуацию, которая получается из ситуации х при замене в ней стратегий xh ieS, на стратегии x'ieXi, ieS. Иными

словами, в ситуации (x\\x's) игроки, входящие в коалицию S, заменя­ ют свои стратегии xt на стратегии JCJ. Если х* — ситуация равнове­ сия по Нэшу, то из (2.1) вовсе не следует, что

Это будет показано далее на простейших примерах.

Можно усилить понятие равновесия по Нэшу, потребовав выпо­ лнения условия (2.7) или ослабленного условия (2.7) хотя бы для одного из игроков ieS. Тогда мы приходим к следующему опреде­ лению.

Определение. Ситуация х* называется сильно равновесной,

если для любых коалиций S а N и xse J~[ X, выполняется неравенство

ieS

Условие (2.8) гарантирует нецелесообразность соглашения меж­ ду игроками с целью вступления в некоторую коалицию S, так как в любой коалиции находится игрок /, которого это соглашение не

121

устраивает. Любая сильно равновесная ситуация является равновес­ ной.

Если бы сильное равновесие существовало в достаточно широ­ ком классе игр, то оно могло бы явиться приемлемым принципом оптимальности в бескоалиционной игре. Однако оно существует крайне редко.

Пример 8. Рассмотрим биматричную игру с матрицей

Здесь одна ситуация равновесия (а2, /?2) (не сильно равновесная), которая дает игрокам вектор выигрышей (1, 1). Однако если оба игрока сыграют (al5 0Д то они получат вектор выигрышей (5, 5), что выгодно обоим. Эта ситуация не является равновесной, но она лучшая для обоих игроков. Таких парадоксов в антагонистических играх не бывает. Если говорить об этом конкретном случае, то данный результат является следствием того, что при одновремен­ ном отклонении от равновесной стратегии каждый из игроков мо­ жет выиграть еще больше.

2.4. Пример 8 приводит к мысли о возможности других принци­ пов оптимальности в бескоалиционной игре, приводящих к ситуаци­ ям, более выгодным обоим участникам, чем в случае равновесных ситуаций. Таким принципом оптимальности является оптималь­ ность по Парето.

Htl)(x)> Щ(х) хотя бы для одного i0eN.

Множество всех ситуаций, оптимальных по Парето, будем обозна­ чать через X*.

Содержательно принадлежность ситуации х множеству Хр оз­ начает, что не существует другой ситуации х, которая была бы предпочтительнее ситуации JC для всех игроков.

Следуя [2], отметим содержательное различие понятий ситуации равновесия и ситуации, оптимальной по Парето. В первой ситуации ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить своего

122

выигрыша, во второй — все игроки, действуя совместно, не могут (даже не строго) увеличить выигрыш каждого.

Заметим также, что соглашение о выборе фиксированной ситу­ ации равновесия удерживает каждого индивидуального игрока от отклонения от нее. В оптимальной по Парето ситуации отклонив­ шийся игрок может в некоторых случаях получить существенно больший выигрыш. В то же время сильно равновесная ситуация безусловно является и оптимальной по Парето. Так, в примере 8 ситуация (а2, р"2) равновесна, но не оптимальна по Парето. Вместе с тем ситуация (а15 р\), наоборот, оптимальна по Парето, но не является равновесной. В игре «семейный спор» обе равновесные ситуации (at, p\), (а2, /J2) сильно равновесны и оптимальны по Парето, но, как уже отмечено в примере 7, не являются взаимозаме­ няемыми. Такая же картина имеет место и в следующем примере.

Пример 9. Рассмотрим игру «перекресток» (см. пример 2 п. 1.4). Ситуации (<х2, /?,), (<х15 /?2) равновесны и оптимальны по Парето (ситуация (al5 /Q оптимальна по Парето, но не равновесна). Для каждого игрока равновесной является стратегия аи р\ «остановить­ ся», если другой игрок решил проехать перекресток, и, наоборот, выгодно выбрать стратегию <х2, /?2 «ехать», если другой игрок остановился. Однако выигрыш в две единицы каждый из игроков получает только при выборе стратегии а2 (fi2) — «ехать», поэтому здесь неизбежна борьба за лидерство, т. е. каждый из игроков заинтересован первым заявить, что он выбрал стратегию «ехать».

Заметим, что точно к такому же выводу мы пришли при анализе игры «семейный спор» (см. пример 7).

2.5. Проанализируем поведение типа лидер — ведомый в игре двух лиц Г=(ЛГ1> Х2, Ни Н2). Обозначим Z1, Z2 множества наилуч­ ших ответов игроков 1 и 2 соответственно, где

(предполагается, что супремумы в (2.9) и (2.10) достигаются). Определение. Назовем ситуацию (х1} х2)еХ1хХ2 i-равновеси-

ем по Штакельбергу в игре двух лиц Г, a Hi i-выигрышем, если (хи

где /=1, 2, /?*/.

Понятие /-равновесия можно интерпретировать следующим об­ разом. Игрок 1 (лидер) знает функции выигрыша обоих игроков Н1г

123

Я2, а тем самым и множество наилучших ответов Z2 игрока 2 (ведо­ мого) на любую стратегию xt игрока 1. Тогда он, обладая этой информацией, максимизирует свой вьшгрыш, выбирая стратегию х1 из условия (2.11). Таким образом, Я, — это вьшгрыш i-ro игрока, действующего оптимально в качестве «лидера» в игре Г.

Лемма. Пусть Z(T) — множество ситуаций равновесия по Нэшу в игре двух лиц Г. Тогда

то в игре Г имеет место борьба за лидерство.

Доказательство. В силу (2.12) для всякой ситуации равнове­ сия по Нэшу (zu z2)eZ(T) справедливы неравенства

Hl{z1,z2)^Hi,i=i, 2.

Предположим противное, т. е. что в игре Г нет борьбы за лидерст­ во. Тогда существует ситуация (zlt z2)eX^ xX2, для которой

124

/«I, 2. Ho (xl5 x2), (уи у?) — ситуации, оптимальные по Парето. Поэтому неравенства (2.17), (2.18) выполняются как равенства, что противоречит (2.16). Теорема доказана.

В заключение заметим, что игры «семейный спор» и «перекре­ сток» (п. 1.4) удовлетворяют условиям теоремы п. 2.5, поэтому в них имеет место борьба за лидерство.

§ 3. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ БЕСКОАЛИЦИОННОЙ ИГРЫ

3.1. Рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц Г=(Хи Х2, Ни Hi). В антагонистическом случае мы уже убедились, что ситуация равновесия в обычных чистых стратегиях, вообще говоря, не суще­ ствует. Даже матричные игры в общем случае имеют ситуацию равновесия лишь в смешанных стратегиях. Поэтому естественно искать равновесие по Нэшу в бескоалиционной игре в классе сме­ шанных стратегий.

Как и в случае антагонистических игр, смешанную стратегию игрока мы отождествляем с вероятностным распределением на множестве чистых стратегий. Предположим для простоты, что мно­ жества стратегий X, конечны, и введем понятие смешанного рас­ ширения игры. Пусть

— произвольная конечная бескоалиционная игра. Для определен­ ности предположим, что игрок 1 в игре Г имеет /и, стратегий.

Обозначим через nt произвольную смешанную стратегию игрока

/, т. е. некоторое вероятностное распределение на множестве страте­ гий Xh которые назовем чистыми стратегиями. Через /i,(x,) будем

обозначать вероятность, которую стратегия ц, приписывает конк­ ретной чистой стратегии х{еХ(. Множество всех смешанных страте­ гий игрока / будем обозначать через Xh

Пусть каждый из игроков ieN применяет свою смешанную стратегию ц(, т. е. выбирает чистые стратегии с вероятностями

Ht(x). Будем предполагать, что вероятность появления ситуации x=(xlt ... хп) равна произведению вероятностей выборов составля­ ющих ее стратегий, т. е.

Формула (3.2) определяет вероятностное распределение на мно-

л

жестве всех ситуаций Х= J][ X„ определяемое смешанными страте-

1-1

125

гиями fit, ц2, ..-, /V Набор n=(jiv ..., ц„) называется ситуацией

Пусть fij — произвольная смешанная стратегия игрока j в игре Г. Умножив (3.4) на $(ху) и просуммировав по всем x)eXj, получаем

Евд^)4(*;)=ад|/*;).

*J _

Определение. Игра T = (N, {Xt}ieN{K,}ieN), в которой N — мно­

жество игроков, Xt — множество смешанных стратегий каждого

игрока г, а функция выигрыша определяется равенством (3.3), назы­ вается смешанным расширением игры Г.

Если для любой чистой стратегии х, игрока i имеет место неравенство Kj(ji\\xi)^a, то для любой смешанной стратегии ц[ вы­

полняется неравенство К}{р.Щ)^а. Справедливость этого вытекает

из (3.3) и (3.4) стандартным переходом к смешанным стратегиям. 3.2. Для биматричной (тхи) игры Г (А, В) можно определить

множества смешанных стратегий Xif X2 соответственно 1 и 2 иг­ роков в виде

Xt = {x\xu=l, х^О, хеВГ}, X2={y\yw=l,y>0,yeR"},

где и = (1, ..., l)elf, w = (l,..., 1)еЛ", а также выигрыши игроков Kt и К2 в ситуации (х, у) в смешанных стратегиях как математическое ожидание выигрыша

&i (х, у)=хАу, К2(х, у)=хВу, хеХъ уеХ2.

126

Следовательно, формально построено смешанное расширение Г (А, В) игры Г (А, В), т. е. бескоалиционная игра двух лиц Г (А, В) =

={Xi, л 2, К1} К2).

Для биматричной игры (как и для матричной) множество •Л/*={/|£>0) будем называть спектром смешанной стратегии

x—(£i, •••> £m) игрока 1, а стратегию х, для которой МХ=М, М={\,

2, ..., т) —вполне смешанной. Аналогично, Ny={j\nj>0} —спектр смешанной стратегии у={п1,..., п„} игрока 2 в биматричной (т х п)-

игре Г (А, В). Ситуацию (х, у), в которой обе стратегии х и у вполне смешанные, будем называть вполне смешанной.

Покажем на примере игры «семейный спор», что введение сме­ шанных стратегий не снимает те трудности, которые возникают при анализе бескоалиционной игры (см. пример 7 п. 2.2).

Пример 10. Пусть в игре «семейный спор» игрок 1 хочет мак­ симально увеличить свой гарантированный выигрыш. Это означает, что он намерен выбрать смешанную стратегию х° = (^°, 1 — £°), 0<£°^1 так, чтобы максимально увеличить наименьшую из двух величин Kt (x, /?х) и Kt (x, fl2), т. е.

, max min {К, (х, В,), К, (х, В2)} =min {К, (х°, J8J, Kt (x°, /J2)}.

X

Максиминная стратегия х° игрока / имеет вид х°=(1/5, 4/5) и дает ему средний гарантированный выигрыш 4/5. Если игрок 2 выберет стратегию Ви то выигрыши игроков будут равны (4/5, 1/5), если же он воспользуется стратегией /?2, то (4/5, 16/5).

Таким образом, если игрок 2 догадается, что его партнер приде­ рживается стратегии х°, то он выберет /?, и получит выигрыш 16/5 (Если игрок 1 может обосновать выбор р2 за игрока 2, то он может улучшить и свой выбор.) Аналогично, пусть игрок 2 придерживает­ ся максиминной стратегии, она имеет вид у0 = (4/5, 1/5), и если игрок 1 выбирает стратегию ах, то выигрыши игроков равны (16/5, 4/5), а если а2, то (1/5, 4/5), поэтому ему выгодно против максиминной стратегии у° применять свою стратегию at.

Если оба игрока будут рассуждать таким образом, то они прихо­ дят к ситуации (al5 B2), в которой вектор выигрышей (0, 0). Здесь ситуация (х°, у0) в максиминных смешанных стратегиях не является ситуацией равновесия по Нэшу.

3.3. Определение. Ситуация ц* называется ситуацией равнове­ сия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре Г, если для любого игрока i и для любой его смешанной стратегии p.t имеет место

неравенство

Ki(ji*\\piHKi(n*),i=l,...,n.

Как показывает пример 10, ситуация в максиминных смешанных

127

стратегиях не обязательно является ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях.

Пример 11. В игре «перекресток» (см. пример 9 п. 2.4) имеются две ситуации равновесия по Нэшу в чистых стратегиях: (а1; /i2) и (а2, /?!). Эти же ситуации оптимальны по Парето. В смешанном рас­ ширении игры возникает еще одна ситуация равновесия, а именно пара (х*, у*):

2-е 2—8

Более того, так как для любых смешанных стратегий х=(£, 1—£) и У=(*1г 1— */) выполняются равенства

^ (х, у*) = ^ (а15 у») + (1 - № (<х2, >>*)= 1 - - ^ ,

для всех смешанных стратегий xeXt и уеХ2. Поэтому (х*, у*) — ситуация равновесия по Нэшу. Более того, это вполне смешанная ситуация равновесия. Однако ситуация (х*, у*) не является оп­

тимальной по Парето, так как вектор К(х*, у*)=[ 1 , 1 )

у 2-е 2—sJ строго меньше (покомпонентно) вектора выигрышей (1, 1) в ситу­ ации (al5 Pi).

Пусть K(p*)={Ki(n*)} —вектор выигрышей в некоторой ситу­

ации равновесия по Нэшу. Обозначим Vi=Ki(ji*) и t>={«,}. Заметим,

что если в антагонистических играх значение v функции выигрыша в ситуации равновесия было одним и тем же для всех ситуаций равновесия, а следовательно, осуществлялось единственным обра­ зом для каждой антагонистической игры, в которой существовала ситуация равновесия, то в неантагонистических играх вектор v опре­ деляется неоднозначно. Таким образом, здесь можно говорить лишь о равновесном выигрыше v, = K,{p*) игрока i в ситуации

128

равновесия ц*, ц*еХ, Х= П ^ - Так, в игре «перекресток» в ситу-

ации равновесия (аи /52) вектор равновесных выигрышей (юх, «,)

\ 2-е 2—EJ

(см. пример 11).

3.4. Если В бескоалиционной игре Г = (Хи Х2, Ни Н2) простран­ ства стратегий бесконечны, например ^сЛ™, X2czR", то, как и в случае бесконечных антагонистических игр, смешанные страте­ гии игроков отождествляются с вероятностными мерами, задан­ ными на борелевскихст-алгебрахмножеств Хх и Х2. Если ц и v — смешанные стратегии игроков 1 w. 2 соответственно, то выигрыш игрока i в этой ситуации KJ(JI, v) — математическое ожидание выиг­ рыша, т. е.

xtx,

где интегралы понимаются в смысле Стильеса. Заметим, что в ситу­ ациях (х, v) и (р., у) выигрыши игроков имеют вид

Ж*, v)= J #,(*,?) лоо,

K,(jt,y)=lHt(x,y)dii(x),i=l,2.

Xi

(Предполагается, что интегралы существуют.)

Таким образом, формально смешанное расширение бескоалици­ онной игры Г двух лиц может быть задано системой T=(Xt, X,, Ки К2), где ^ = {/!), JT2 = {v}, a Kt и К2 определяются (3.5). Игра Г является бескоалиционной игрой двух лиц, поэтому ситуация (ц*, v*) равновесна тогда и только тогда, когда выполнены неравенства, аналогичные (2.3).

§4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ ПО НЭПГУ

4.1.В теории антагонистических игр для существования ситу­ ации равновесия в смешанных стратегиях было достаточно непре­ рывности функции выигрыша и компактности множеств стратегий (см. п. 4.4 гл. II). Оказывается, что этих условий достаточно и для существования ситуации равновесия по Нэшу в смешанных страте­

гиях для бескоалиционной игры двух лиц. Вместе с тем вопрос о существовании ситуации равновесия в бескоалиционной игре двух лиц является правомерным. Уже приводился пример антагонисти­ ческой игры, котораяне имеет ситуации равновесия в смешанных стратегиях (см. п. 4.12 гл. II).

129