Теория игр / Петросян_Теория_игр

всех дележей. Хотя элементы С-ядра и не доминируются никакими другими дележами, однако нельзя утверждать, что в С-ядре для любого наперед заданного дележа а найдется доминирующий его дележ. Поэтому оказывается целесообразной формулировка при­ нципа оптимальности, который бы учитывал и это последнее обсто­ ятельство.

Определение. Подмножество дележей L кооперативной игры (N, v) называется Н — М-решением, если:

1)из <х>Р следует, что либо <хфЬ, либо рфЬ (внутренняя устой­ чивость);

2)для любого <хфЬ существует такой дележ f}$L, что /?^=а (внешняя устойчивость).

Ксожалению, применение понятия Н — М-решения на практике невозможно. Оно несет скорее философский, нежели практический смысл.

Между С-ядром кооперативной игры и ее Н — Л/-решением имеется известная связь. Например, если С-ядро не пусто и Я — М- решение существует, то оно содержит С-ядро. Действительно, пусть дележ а принадлежит С-ядру; тогда если бы он не принадлежал Н — М-решению L, то согласно свойству 2) нашелся бы такой дележ а', что а'^=а. Однако это противоречит принадлежности а С- ядру как множеству недоминируемых дележей.

Теорема. Если для характеристической функции игры (N, v) в (0 — \)-редуцированной форме (\Щ — п) выполняются неравенства

»(S)<—i—,

л-ISI + l

где \S\ — число игроков в коалиции S, то С-ядро этой игры не пусто и является ее Н — М-решением.

160

нибудь минимальный элемент S0, который, очевидно, существует. Пусть к— число игроков в коалиции S0. Очевидно, 2^к^п— 1. Построим дележ /? следующим образом:

' а,Н «(S0)-a(S0), 16Л0,

.-* • * 5 ° -

Так как f}(S0)=v(S0), /?,>а,-, ieS0, то В доминирует а по коалиции

S0. Докажем, что В содержится в С-ядре. Для этого достаточно показать, что fJ(S)^v(S) при произвольном S. Пусть сначала \S\^k. Заметим, что В не доминируется по S0, так как f}(S0)=v(S0) и не может доминироваться ни по какой коалиции 5<= S0, поскольку /?,>а, (ieS0), a 5"0 — минимальная коалиция, по которой можно

доминировать а. Если же хоть один игрок из S не содержится в So, то

Следовательно, /? содержится в С-ядре. Кроме того, В доминирует а. Итак, доказано, что С-ядро непусто и удовлетворяет свойству 2, характеризующему множество Н — М-решений. Свойству 1 С-ядро

161

удовлетворяет автоматически в силу определения. Теорема до­ казана.

9.6. Определение. Игра {N, v) в (О — \)-редуцированной форме называется простой, если для любых S^N v(S) принимает лишь одно из двух значений О или 1. Кооперативная игра называется простой, если проста ее (О — \)-редуцированная форма.

Ни один из этих трех дележей не доминирует никакого другого. Множество дележей (9.7) имеет и следующее свойство, любой дележ (кроме трех дележей ai}) доминируется одним из дележей аи. Чтобы

это проверить, рассмотрим какой-нибудь дележ а=(а1а а2, а3). Так как мы рассматриваем игру в (0 — 1)-редуцированной форме, то а,^0 и а1 + а2 + а3 = 1. Следовательно, не более двух компонент

вектора а могут быть не меньше 1/2. Если их действительно две, то каждая из них равна 1/2, в то время как третья равна 0. Но это означает, что а совпадает с одним из ау. Если же а — какой-нибудь

иной дележ, то он имеет не более одной компоненты, не меньшей чем 1/2. Значит, по крайней мере две компоненты, например, а,- и а,,

где i<j, меньше 1/2. Но в этом случае a(V>a. Таким образом, три

и

дележа (9.7) образуют Н — М-решение. Но это не единственное Н — М-решение.

Пусть с — любое число из отрезка [0, 1/2]; легко проверить, что множество

L3,e={(a, \-c-a, c)|0s£a<l-c}

также является Н — Af-решением. Действительно, в это множество входят дележи, при которых игрок 3 получит постоянную с, а игро­ ки 1 и 2 делят остаток во всевозможных пропорциях. Внутренняя устойчивость следует из того, что для любых двух дележей а и /? из этого множества имеем: если ах>^15 то а2<02. Однако доминиро­ вание по коалиции, состоящей из единственного участника, невоз­ можно. Чтобы доказать внешнюю устойчивость L3, „ возьмем ка­ кой-либо дележ рфЬ3с. Это означает, что либо /?3>с, либо ръ<с.

Пустьобразом:Р3>с, например /?3 = с + е. Определим дележ а следующим <*i=0i + e/2, а2=Д2 + е/2, а3 =с

162

Тогда, <xeL3,с и а^Р по коалиции {1, 2}. Пусть теперь Ръ<с. Ясно,

Если же /?2< 1/2» то можно показать аналогично, что y^/J, где у = (0, 1-е, с). Итак, кроме симметричного Я — М-решения, рассматрива­ емая игра имеет еще целое семейство решений, при которых игрок 3 получает фиксированное количество с из отрезка 0<с<1/2. Эти Н — Л/-решения называются дискриминирующими; говорят, что игрок 3 при этом дискриминирован. В случае множества Z^_ 0 гово­ рят, что игрок 3 полностью дискриминирован или исключен.

Из соображений симметрии очевидно, что существуют также два семейства Н — Л/-решений Lh c и Z^, „ в которых дискриминируют­

ся игроки 1 и 2 соответственно.

Предшествующий пример показывает, что у игры может быть чрезвычайно много Н — Л/-решений. Совершенно неясно, какое из них следует выбрать. Когда же Я — Л/-решение выбрано, остается непонятным, какой из него выбрать дележ.

Существование Н — Л/-решений в общем случае до сих пор не доказано, однако получены некоторые частные результаты. Одни из них касаются существования Н — М-решений для конкретных клас­ сов игр, другие — существования решений определенного типа [5].

§10. ВЕКТОР ШЕПЛИ

10.1.Множественность рассмотренных ранее принципов оптима­ льности С-ядра и Я — Af-решения в кооперативных играх, а также жесткие условия существования этих принципов стимулируют по­ пытки поиска принципов оптимальности, существование и единст­ венность которых были бы обеспечены в каждой кооперативной игре. К таким принципам оптимальности относится вектор Шепли. Вектор Шепли определяется аксиоматически.

Определение. Носителем игры (N, v) называется такая ко­ алиция Т, что v(S)=v(S(~)T) для любой коалиции S<=N.

Содержательно определение утверждает, что любой игрок, не принадлежащий носителю, является «болваном», т. е. не может ничего внести ни в какую коалицию.

Рассмотрим произвольную перестановку Р упорядоченного мно­ жества игроков iV={l, 2, ..., л}. С этой перестановкой связана подстановка я, т. е. такая взаимно однозначная функция я: N-*N, что для ieN значение n(i)eN представляет собой элемент из N, в который переходит ieN в перестановке Р.

Определение. Пусть (N, «) — игра п лиц. Р — перестановка множества N, an — соответствующая ей подстановка. Тогда через

163

(N, nv) обозначим такую игру (N, и), что для любой коалиции ScN, S={it, i2 i,}

иЦп^п^), ...,n(Q})=v(S).

По существу игра (N, nv) отличается от игры (N, v) лишь тем, что

впоследней игроки поменялись ролями в соответствии с переста­ новкой Р.

Спомощью этих определений можно изложить аксиоматику Шепли. Сначала заметим, что так как кооперативные игры к лиц,

всущности, отождествляются с вещественными (характеристичес­ кими) функциями, то можно говорить о сумме двух или большего числа игр, а также о произведении игры на число.

10.2.Поставим в соответствие каждой кооперативной игре (N, v)

вектор <pH=(<j0iM, ..., 9>n[v]), компоненты которого будем интер­ претировать как выигрыши, полученные игроками в результате соглашения или решения арбитра. При этом будем считать, что указанное соответствие удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиомы Шепли.

1. Если S — любой носитель игры (N, ю), то

5>,Н=«(5).

ieS

2.Для любой подстановки п и ieN

3.Если (N, и) и (N, v) — две любые кооперативные игры, то

<Pi[u+v] = q>,[u] + <f>i[v].

Определение. Пусть q> — функция, ставящая в соответствие согласно аксиомам 1 — 3 каждой игре (N, v) вектор q>[v]. Тогда <p[v] называется вектором значений или вектором Шепли игры (N, v).

Оказывается, что этих аксиом достаточно для определения един­ ственным образом значения для всех игр п лиц.

Теорема. Существует единственная функция q>, определенная для всех игр (N, v) и удовлетворяющая аксиомам 1 — 3.

10.3. Доказательство теоремы опирается на следующие резуль­ таты.

Лемма. Пусть для любой коалиции SczN игра (N, ws) определя­ ется следующим образом:

164

Тогда для игры (N, w,) аксиомы 1, 2 однозначно определяют вектор

где -s= |iS| — число игроков в S.

Доказательство. Ясно, что S — носитель w„ как и любое

множество Т, содержащее множество S. Тогда по аксиоме 1, если

ScT, то

Но это означает, что <p,[wj]=0 для i4S. Далее, если ж — любая подстановка, которая переводит S в себя, то nws=ws. Следователь­ но, в силу аксиомы 2 для любых г, jeS имеет место равенство

<Pi[ws]=<Pj[ws]- Так как этих величин всего s= \S\, а сумма их равна 1, то <Pi[ws]=l/,s, если ieS.

Игра с характеристической функцией ws, определяемой (10.1),

называется простой игрой п лиц. Таким образом, лемма утвержда­ ет, что для простой игры {N, ws) вектор Шепли определяется форму­ лой (10.2). Вектор Шепли для игры (N, ws) определяется единствен­ ным образом.

Доказательство очевидно. Таким образом, (p[cws]=cq>[ws] для с>0.

Теперь покажем, что если ^cs)vs является характеристической функцией, то

В случае cs>0 первое равенство в (10.3) постулируется аксиомой 3, второе следует из следствия. Далее, если и, v и и—v — харак­ теристические функции, то согласно аксиоме 3 имеем

(p[u—v]=q> [и] — q>[v]. Отсюда следует справедливость (10.3) для лю­ бых cs. Действительно, если £ csws — характеристическая функция,

s

165

то

= E адЫ- E (-csMws]=E<v)»K].

10.4. Лемма. Пусть (N, v) — любая игра, тогда найдутся 2* —1 вещественных чисел cs, таких, что

где ws определены (10.1), а суммирование ведется по всем подмноже­ ствам S множества N, исключая пустое множество. При этом представление (10.4) единственно.

Доказательство. Положим

(здесь t — число элементов в 7). Покажем, что эти числа cs удовлет­ воряют условиям леммы. Действительно, если U — произвольная коалиция, то

Е **.(0)- Е *«« Е ( Е (-1Г'«(*))-

= Е Г Е <-ir'l«<D.

Рассмотрим теперь величину в квадратных скобках в последнем выражении. Для каждого значения s между / и и имеется CJJIf таких множеств 5 с s элементами, что Гс=5с= U. Следовательно, выраже­ ние в скобках можно заменить следующим выражением:

Е^=К-1Г'=Е^v»-f -'<(-1Г'.

S-t

но это биномиальное разложение (1 — 1)" . Следовательно, для всех t<u оно равно 0, а для t=u равно 1. Поэтому для всех UcN

Еcsws(U)=v(U).

{S|.S<=JV}

166

Докажем единственность представления (10.4). Любой харак­ теристической функции v соответствует элемент пространства

В2"'1. Действительно, упорядочим коалиции TaN. Тогда каждой непустой коалиции Гс=ЛГ соответствует компонента вектора, равная v (Г). Эти векторы будем обозначать, как и функции, через v. Очеви­ дно, что простейшим характеристическим функциям ws соответ­ ствуют векторы, у которых компоненты равны либо нулю, либо единице. Докажем, что простейшие характеристические функции (точнее, соответствующие им векторы) линейно независимы. Дейст­ вительно, пусть

£ Xsws(T)=0 для всех TcN.

ScN

Тогда для Т={г] имеем ws({f}) = 0, если S=t{i}, и ws({i})=\, если 5'={i}. Поэтому А{(} = 0 для всех iczN. Продолжим доказательство

методом индукции. Пусть As=0 для всех ScT, 5 # Т. Покажем, что Аг=0. Действительно,

Таким образом, мы имеем 2я—1 линейно независимых вектора

в Rz - 1 , поэтому любой вектор, а значит и любая характеристичес­ кая функция v единственным образом выражается в виде линейной комбинации (10.4) простейших характеристических функций ws. Лемма доказана.

10.5. Перейдем к доказательству теоремы п. 10.2. Лемма п. 10.4 показывает, что любая игра может быть представлена в виде линей­ ной комбинации игр ws, причем представление (10.4) единственно.

Согласно п. 10.3 функция q> [v] единственным образом определяется соотношениями (10.3), (10.2).

Пусть (N, v) — произвольная игра. Получим теперь выражение

ноние,csполучаемопределены формулой (10.5). Подставляя (10.5) в это выраже­

<Pilv]= Е (1/*)Г I (-1Г'«(7)

= I Г I (-ir'(mv(T)

Положим

167

Таким образом, имеем

{Г|1бГ<=ЛГ}

Далее, если ieT, то ровно CnZ.'t таких коалиций S с s элементами, что Гс5 . В результате получаем хорошо известный определенный ин­ теграл:

y,(T)=i(-l)'-'CnZ't(lls) =

= £(-1Г'(7л- \x'-ldx= f £(-ir'Qi<*'-'<&=

Таким образом, имеем (бета-функция)

,~* (1-1)!(л-0!

у,(Г)=

л!

и, следовательно,

9iM= I (r~1)!f"<)![t>(7)-t,(7\{/})]. (10.7)

Формула (10.7) определяет компоненты вектора Шепли в явном виде. Это выражение удовлетворяет аксиомам 1 — 3 п. 10.2.

Заметим, кроме того, что вектор <р [«] всегда является дележом. Действительно, в силу супераддитивности функции v

10.6. Если отвлечься от аксиоматического определения, то век­ тору Шепли, выраженному формулой (10.7), можно дать следующее содержательное истолкование. Предположим, что игроки (элемен­ ты множества N) решили встретиться в определенном месте в опре­ деленное время. Естественно, что из-за случайных отклонений все

168

они будут прибывать в различные моменты времени; однако пред­ полагается, что все порядки прибытия игроков (т. е. их перестанов­ ки) имеют одну и ту же вероятность, а именно 1/(и!). Предположим, что если игрок /, прибывая, застает на месте членов коалиции Т\ {/"} (и только их), то он получает выигрыш «(7)—v (7\{i}); иначе говоря, его выигрышем является предельная величина, которую он вносит в коалицию. Тогда компонента вектора Шепли <р,[«] представляет

собой математическое ожидание выигрыша игрока i в условиях этой рандомизационной схемы.

10.7. Для простой игры (п. 9.6) формула для вектора Шепли особенно наглядна. Действительно, v(T)—v(T\{i}) всегда равно ли­ бо 0, либо 1, причем это выражение равно 1, если Т — выиг­ рывающая коалиция, а коалиция 7\ {г} не является выигрывающей. Следовательно, имеем

<р,м=Е('-1Ж«-0!М

т

где суммирование распространяется на все такие выигрывающие коалиции 7Ъ i, для которых коалиция 7\ {/} не является выигрыва­ ющей.

Пример 20 [2]. (Игра с главным игроком.) В игре участвуют п игроков, один из которых называется «главным». Коалиция S вы­ игрывает 1, если она либо содержит главного игрока и хотя бы одного кроме него, либо всех и— 1 «неглавных». Бели главный игрок имеет номер л, то характеристическая функция этой игры записыва­ ется в следующем виде:

Поскольку игра имеет (0 — 1)-редуцированную форму,

л-1

1=1

Все неглавные игроки равноправны, поэтому в силу симметрии

2

9t[v] = ~—-, /=1, - , л - 1 .

л(л-1)

169