2013 Задания к лабораторным работам ОНИ

При необходимости произвести выравнивание (привести к линейному виду) заменой переменных.

y a lg x b → X lg x → y aX b

y ax b →Y lg y , lg a , X lg x →Y bX

y a bx → X 1x → y a bX

3) Составить систему уравнений. Для линейного приближения

a n xi2 b n xi n xi yi

a n xi bn n yi

Для квадратичного приближения

сn b n xi a n xi2 n yi

c n xi b n xi2 a n xi3 n xi yi

c n xi2 b n xi3 a n xi4 n xi2 yi

Вычисления представить в таблице (для линейной функции, например):

4)Решить систему уравнений относительно параметров эмпирической функции.

5)Записать полученную эмпирическую зависимость y с вычис-

ленными параметрами. В случае использования приведенных значений (использования выравнивания), преобразовать полученные коэффициенты в коэффициенты первоначального уравнения.

6)Вычислить значения исследуемой функции y

7)Определить максимальную абсолютную погрешность.

max y i y i

8) Определить максимальную относительную погрешность.

9) Построить график полученной эмпирической функции. Вопросы для самостоятельной подготовки:

1.Сущность метода наименьших квадратов.

2.Аппроксимация.

3.Интерполяция.

4.Виды приближения функций.

5.Приведение функции к линейному виду.

6.Задачи, для решения которых может использоваться метод наименьших квадратов.

Лабораторная работа №5 Сравнение выборок.

Проверка однородности дисперсий. Проверка однородности средних.

Цель работы – изучение методов проверки однородности выборок. 1. Проверить однородность дисперсий с помощью критерия Кохре-

на. Для заданных девяти выборок (Приложение 1):

1) Рассчитать дисперсии для каждой выборки (опыта) [11,12]

где yi - среднее арифметическое значение результатов измерения для i-й

выборки; yj – значение j-го результата измерения в i-й выборке; n – объем выборки.

2) Определить наибольшую дисперсию max Si2

12

3) Вычислить критерий Кохрена

max S 2

Ср N i

S i2

i 1

4)Выбрать табличное значение критерия Кохрена Сq,f,N при уровне значимости q=0,05, числе степеней свободы f=n-1 и числе сравниваемых дисперсий N.

5)Сравнить расчетное значение критерия Кохрена Ср с табличным

значением критерия Сq,f,N. Если Ср < Сq,f,N, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

2. Проверить однородность дисперсий с помощью критерия Фишера для любых двух выборок (Приложение 1 Задание к лабораторной работе №5):

1) Вычислить расчетное значение критерия Фишера (в числителе - всегда бóльшая из дисперсий)

FS12

рS22 ,

2)Определить табличное значение критерия Фишера Fт. Для уров-

ня значимости q=0.05 и числа степеней свободы f1=n1-1 и f2=n2-1. n1, n2- объемы сравниваемых выборок.

3) Проверить условие Fp<Fт. Если условие выполняется, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

3. Установить существенность расхождения средних арифметических значений двух выборок, однородность дисперсий которых проверена на предыдущем этапе. [12]

1) Для однородных дисперсий вычислить расчетное значение статистики Стьюдента по формуле (для независимых выборок):

y1, y2 - средние арифметические значения выборок. Определить таб-

личное значение критерия Стьюдента tq,f при уровне значимости q=0.05 и числе степеней свободы f=n1+n2-2.

Если tр> tq,f , то расхождение между средними значимо. Гипотеза об однородности средних не принимается.

2) Для неоднородных дисперсий вычислить расчетное значение критерия Стьюдента по формуле

13

Определить табличное значение критерия Стьюдента tq,f при уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы f:

Если tр> tq,f , то расхождение между средними значимо и его нельзя объяснить статистическими причинами. Гипотеза об однородности средних отвергается.

Вопросы для самостоятельной подготовки:

1.Критерии проверки однородности дисперсий.

2.Генеральная совокупность, выборка.

3.Понятие «однородность» дисперсий.

4.Формулировка проверяемых гипотез.

5.Причины выполнения проверки однородности дисперсий.

6.Критерий Стьюдента.

Лабораторная работа №6 Регрессионный анализ.

Модель с учетом парных взаимодействий факторов

Цель работы - изучение методов выполнения регрессионного анализа, планирования и обработки результатов многофакторного эксперимента.

Для заданных результатов эксперимента (Приложение 1)

1) Принимается модель зависимости выходной величины от двух факторов процесса исследования с учетом их взаимодействия [11, 12, 13]

y b0 b1x1 b2 x2 b1,2 x1x2

2) Вычислить построчные дисперсии и средние значения выходной величины для опытов 1..4 ПФЭ 22

где n – число повторений наблюдений в каждом опыте

14

3) Вычислить значение критерия Кохрена

max S 2

Ср N i

S i2

i 1

Проверить однородность построчных дисперсий по критерию Сq,f,N. (см. лабораторная работа №5).

4) Составить расчетную матрицу

Примечание. Переменная х0 –введена для удобства вычислений. 5) Вычислить оценки дисперсии, характеризующей ошибку экспе-

римента

ны, измеренные при проведении i - го опыта (в данном случае средние значения по выборке (строке)); N – число опытов; xk,i – значение k-го фактора в i-й строке.

Или, например,

Записать уравнение регрессии с учетом найденных коэффициентов. 7) Вычислить дисперсии коэффициентов регрессии

15

Дисперсии коэффициентов регрессии характеризуют точность, с которой они найдены.

8) Оценить значимость коэффициентов регрессии Для каждого коэффициента регрессии вычислить значение

tр Sbk

{bk } ,

где S{bk } - среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии.

S{bk } S{2bk }

Определить табличное значение критерия Стьюдента tq, f1 для уровня значимости q=5% и числа степеней свободы f1=N(n-1).

Проверить условие tр tq, f1 . Коэффициенты регрессии, для кото-

рых это условие выполняется можно исключить из модели.

9) Подставить значения коэффициентов в уравнение регрессии Вычислить теоретические значения выходной величины y для каж-

дой строки

yi b0 b1x1i b2 x2i b1,2 x1i x2i

или

y1 b0 b1 ( 1) b2 ( 1) b1,2 ( 1) y2 b0 b1 ( 1) b2 ( 1) b1,2 ( 1) y3 b0 b1 ( 1) b2 ( 1) b1,2 ( 1) y4 b0 b1 ( 1) b2 ( 1) b1,2 ( 1)

10) Проверить адекватность модели Вычислить дисперсию адекватности

n N ( yi yi )2

где f2 - число степеней свободы связанное с дисперсией адекватности, f2 = N – P; P – число оцениваемых коэффициентов в уравнении регрессии

16

(модели). (При N=P проверить адекватность невозможно); yi - среднее арифметическое результатов (значений выходной величины) i-й серии наблюдений в опыте; yi - значение выходной величины в i-й серии наблюдений в опыте, рассчитанное по уравнению регрессии.

Вычислить значение критерия Фишера Fp

FSад2

рS{2y}

Определить табличное значение критерия Фишера Fт. Для уровня значимости q=0,05 и числа степеней свободы f1 и f2.

Проверить условие Fp<Fт. Если условие выполняется то результаты опыта можно описать уравнением данного вида, то есть математическая модель адекватна.

11) По модели рассчитать значения выходной величины с учетом парного взаимодействия и без него. Построить графики поверхности отклика.

Рисунок 3. Пример поверхности отклика

Вопросы для самостоятельной подготовки:

1.Условия математического планирования эксперимента.

2.Планы первого порядка.

3.Критерии оптимальности планов эксперимента.

4.Модель «черный ящик».

5.Факторы, выходная величина.

6.Геометрическая интерпретация плана ПФЭ.

17

7.Проверка значимости коэффициентов регрессии.

8.Проверка адекватности модели.

9.Оценка влияния факторов модели на выходную величину.

10.Уравнение регрессии первого порядка.

11.Свойство ортогональности.

12.Формулировка гипотез, проверяемых при обработке результатов эксперимента.

13.Задачи, для которых используется регрессионный анализ.

Лабораторная работа №7 Регрессионный анализ. Модель второго порядка.

Цель работы - изучение методов выполнения регрессионного анализа, планирования и обработки результатов многофакторного эксперимента (второго порядка).

Для заданных результатов эксперимента (Приложение 1)

1) Принимается модель второго порядка зависимости выходной величины от факторов процесса исследования [11,12,13].

y b0 b1x1 b2 x2 b1,2 x1x2 b11x12 b22 x22

2)Вычислить построчные дисперсии и средние значения выходной величины для дополнительных опытов. Проверить однородность построчных дисперсий (см. лабораторные работы №5 и №6).

3)Составить расчетную матрицу ортогонального центрального композиционного плана

Примечание.

18

d – поправка, зависящая от числа факторов, d = 2/3 ≈ 0,667 для двух факторов. α – звездная точка, α = 1 для двух факторов.

4) Вычислить оценки дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента

N

Si2

S{2y} i 1N

5)Вычислить коэффициенты уравнения регрессии

где i – номер опыта; k – номер фактора; yi – значения выходной величи-

ны, измеренные при проведении i - го опыта (в данном случае средние значения по выборке (строке)); N – число опытов; xk,i – значение k-го фактора в i-й строке.

Записать уравнение регрессии с учетом найденных коэффициентов.

y b0 b1x1 b2 x2 b1,2 x1x2 b11x1* b22 x2*

Перейти к уравнению регрессии в обычной форме.

b0* b0 d(b11 b22 )

y b0* b1x1 b2 x2 b1,2 x1x2 b11x12 b22 x22

6) Вычислить дисперсии коэффициентов регрессии

7) Оценить значимость коэффициентов регрессии

Определить табличное значение критерия Стьюдента t для уровня значимости q=5% и числа степеней свободы f1=N(n-1).

Для каждого коэффициента регрессии проверить условие

19

где S{bk } - среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии.

S{bk } S{2bk }

Коэффициенты регрессии, для которых выполняется это условие, являются значимыми.

8) Подставить значения коэффициентов в уравнение регрессии Вычислить теоретические значения выходной величины y для каж-

дой строки

9)Проверить адекватность модели (см. лабораторную работу №6).

10)Построить график поверхности отклика.

Вопросы для самостоятельной подготовки:

1.Планы второго порядка.

2.Звездные точки.

3.Свойства ротатабельности и униформности.

4.Геометрическая интерпретация центрального композиционного

плана.

5.Проверка значимости коэффициентов регрессии.

6.Оценка влияния факторов модели на выходную величину.

7.Уравнение регрессии второго порядка.

Лабораторная работа №8 Обработка экспертных оценок

Цель работы - изучение методов проверки согласованности мнений экспертов [12].

1) Дано n факторов, влияющих на функционирование объекта х1, х2, .., хп. Каждый из m экспертов приписывает ранги этим факторам - пронумеровывает их в порядке убывания степени их влияния на объект.