7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»

Цель работы: Сформировать навыки по вычислению суммы n членов бесконечных рядов и использованию элементов приближенных вычислений средствами изучаемого языка программирования

13.1 Примеры решения задач

Вычисление суммы n-первых членов ряда

Пример 7.1 Дано целое число n=5. Вычислить значение суммы членов

var

s,u:real; n,k,a,i:byte; f:longint; begin

//Задание начальных значений суммы, члена ряда и k s:=0; u:=1; n:=5;

for k:=1 to n do begin

//Определение знака члена бесконечного ряда if odd(k) then a:=1 else a:=-1;

//Вычисление факториала следующие 2 строки f:=1;

for i:=1 to k do f:=f*i;

end.

В данном примере выбор знака “+” или “-” происходит при помощи проверки на четность функцией Odd.

Существуют и другие варианты реализации смены знака. Например:

66

Листинг 7.2

for k:=1 to n do begin

f:=1;

for i:=1 to k do f:=f*i; u:=1/f;

s:=s+u*(2*(i mod 2)-1); //Накопление суммы end;

при нечетном i выражение 2*(i mod 2)-1 =2*1-1=1, при четном i выражение 2*(i mod 2)-1 =2*0-1= -1

Если есть желание поменять знак в зависимости от четности тогда:

2*((i+1) mod 2)

при нечетном i выражение 2*((i+1) mod 2)-1 =2*0-1=-1, при четном i выражение 2*((i+1) mod 2)-1 =2*1-1= 1.

Данный бесконечный ряд изменяется по определенному закону, поэтому для упрощения программирования, находим коэффициент, при домножении на который k-ый элемент становится k+1-вым. Находим отношение k-го элемента

к (k-1):

writeln(s); //Вывод суммы end.

Вычисление суммы n-первых членов последовательности, удовлетворяющих условию

Для большинства задач связанных с приближенными вычислениями важно определить условие, по достижении которого решение считается найденным. Обычно рассматривается два варианта:

− n-ый член ряда стал по модулю меньше точности

67

− разница между текущим членом ряда и предыдущим стала по модулю меньше точности Так как практически все ряды являются убывающими, то точность в ре-

альных вычислениях принимается достаточно малой, так например, в Mathcad допуск сходимости TOL=10-3.

Пример 7.2 Вычислить значение суммы членов бесконечного ряда

S =1 − 21! + 31! −K+(−1)k +1 k1! , где k=1..n, с заданной точностью E=0.001,

т.е. вычисление суммы прекратить, когда k-тый член ряда станет по модулю меньше точности.

end;

writeln(s); //Вывод суммы end.

Нахождение наименьшего номера члена последовательности, для которого выполняется некоторое условие

Пример 7.3 Найти наименьший номер члена последовательности A

68

1+ 21! + 31! +K+ n1!, для которого выполняется условие |A n — A n-1| < E.

Вывести на экран этот номер и все элементы аi, где i= 1, 2,..., n. E=0.01

Таблица 7.5 Система тестов Таблица 7.6 Исполнение алгоритма при e=0.01

Таким образом, при е=0.01 ответ 6, т.к. |A6 - A5| = 0.006944 < e = 0.01

Листинг 7.5 var

at, ap, e :real; k,i,f:integer; begin

e:=0.01; at:=1; i:=1; while true do

begin

writeln('a',i,'=',at:0:6);//вывод в формате a2=0.500000

if abs(at-ap)<e then //вычисляем разность |A n — A n-1| begin

writeln('a',i,'=',at:0:6);

//вывод в формате |a6-a5|=0.006944 writeln('|a',i,'-a',i-1, '|=',abs(at-ap):0:6); writeln('n=',i);

break;

end;

end;

end.

13.2 Задания к лабораторной работе №5

Задание 5.1 Ряды

1.Дано натуральное число N. Вычислить

2.Дано натуральное число N. Вычислить:

69

3.Дано число N. Вычислить произведение первых Y сомножителей

P = 23 54 76 ... 2N2N+1

4.Дано натуральное число N. Вычислить

5.Дано действительное число Х. Вычислить

6.Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить

S = sin x +sin sin x +... +sin sin ...sin x

14243

nраз

7.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить

P = a(a +1)...(a + n −1)

8.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить

P = a(a −n)(a −2 n)...(a −n2 )

9.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить

10. Дано действительное число X. Вычислить

(x −1)(x −3)(x − 7)...(x − 63)

(x − 2)(x − 4)(x −8)...(x − 64)

11.Вычислить (1 + sin 0,1)(1 + sin 0,2)...(1 + sin10)

12.Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить sin x +sin x2 +... +sin xn

13.Дано натуральное число N. Вычислить

S =1 2 + 2 3 4 +... + n(n +1)...2n

14.Дано натуральное число N. Вычислить

P = 1 − 212 1 − 312 ... n − n12 , где N > 2

15.Дано натуральное число n. Вычислить

16. Дано натуральное число n. Вычислить

S =1!+2!+3!+...n! (n >1)

70

17.Дано натуральное число n. Вычислить

18.Для данного действительного числа х вычислить по схеме Горнера y = x10 + 2x9 + 3x8 +... +10x +11.

19.Числа Фибоначчи (Fn) определяются формулами

20.Дано натуральное число n. Вычислить у = 1 3 5...(2n -1).

21.Дано натуральное число n. Вычислить у = 2 4 6... (2n).

22.Вычислить у = cos х + cos х2 + cos х3 +... + cos хn.

23.Вычислить у = sin 1 + sin 1,1 + sin 1,2 +... + sin 2.

24.Даны натуральные числа N и K. Вычислить

k + 2k +... + k(n −1) + kn

25. Дано натуральное число N. Вычислить

12 + 32 + 43 +... + n n+1

26.Дано целое число n. Вычислить значение выражения

27.Дано натуральное число N. Вычислить

S = 2 + 2 4 +... + n(n + 2)...2n , где n – четное число

28. Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить sin x + sin2x2 + ... + sinnxn

29.Дано целое число m. Вычислить значение выражения

(9 +(9 +... +(9 +91/ 2 )1/ 3...)1/ m−1 )1/ m .

30.Даны целые числа n и m (n >= m > 0). Вычислить число размеще-

ний из n по m по формуле Amn = n(n −1)K(n −m +1) .

Задание 5.2 Вычисление последовательностей

Для всех задач:

-значение E выбирается студентом в зависимости от конкретной задачи и согласовывается с преподавателем, обычно это число принимается равным 0.001;

-массивы при решении не использовать.

Даны числовой ряд и некоторое число E. Найти сумму тех членов ряда,

71

модуль которых больше или равен заданному E. Общий член ряда имеет вид в соответствии с вашим вариантом, где n =1,2K∞.

Найти наименьший номер члена последовательности A, для которого выполняется условие |A n — A n-1| < E. Вывести на экран этот номер и все элемен-

ты Ai где i= 1, 2,..., n.

Найти наименьший номер элемента последовательности, для которого выполняется условие М. Вывести на экран этот номер и все элементы аi ,

где i=1, 2,.., n.

72