2. Расчет графиков спектров модулирующего и модулированного сигналов

Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала – это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частот гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Исходя из определения, найдём амплитуды гармоник спектра модулирующего сигнала

(6)

где k– номер гармоники; Ω_k =2πk/T = 2πF_k – значение её круговой частоты; F_k = F₁∙k – значение обычной частоты.

Подставляя в формулу (6) в качестве сигнала d(t) периодическую последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U_m и скважностью Q, после интегрирования, получаем

(7)

и

А₀ = U_m/Q для нулевой гармоники k = 0. (8)

Для рассматриваемого примера варианта задания результаты расчета по формулам (7) и (8) при амплитуде 1В и скважности Q = 5 приведены в табл. 1.

Таблица 1

Амплитуды гармоник модулирующего сигнала

k	Fk,[Гц]	Аk, [В]
0	0	0,2
1	100	0,374
2	200	0,303
3	300	0,202
4	400	0,094
5	500	0,000
6	600	0,062
7	700	0,086
8	800	0,076
9	900	0,042
10	1000	0,000
11	1100	0,034
12	1200	0,050
13	1300	0,047
14	1400	0,027
15	1500	0,000

График модулирующего (первичного) сигнала, а также его амплитудный спектр, показан на рисунке 2.

Процесс построения спектра AMн сигнала показан на рисунке 3. На рисунке изображено: а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б) гармонический сигнал-переносчик (несущая частота); в) AMн сигнал; г) спектр AMн сигнала. Как нетрудно видеть, AMн сигнал можно представить как произведение двух сигналов: а) и б). Учитывая известную теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр AMн сдвигается вправо по оси частот на частоту несущей, а форма спектра AMн будет повторять форму спектра модулирующего сигнала с точностью до множителя (1/2). То есть, для получения графика спектра г) необходимо:

• взять из табл. 1 гармоники модулирующего сигнала, начиная с первой;

• умножить амплитуды гармоник на 0,5;

• расположить их на оси частот симметрично относительно частоты несущей;

• нулевую гармонику без изменений её амплитуды разместить на частоте несущей.

Рис. 2. Первичный сигнал и его спектр

Рис. 3. Построение спектра АМн сигнала

Отметим, что физическое объяснение происхождения множителя 0,5 заключается в наличие двух боковых полос («верхней» и «нижней») у AMн спектра по сравнению со спектром модулирующего сигнала, поэтому амплитуды боковых гармоник уменьшаются в два раза.

Процесс построения спектра ЧМн сигнала показан на рис. 4. На рисунке изображено: а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б) ЧМн сигнал; в) АМн₀ составляющая ЧМн сигнала; г) AMн₁ составляющая ЧМн сигнала; д) спектр АМн₀; е) спектр АМн₁; ж) спектр ЧМн сигнала.

Идея построения спектра ЧМн строится на том факте, что график ЧМн сигнала б) может быть представлен суммой двух графиков в) и г) AMн сигналов. Из свойства аддитивности спектров следует, что график спектра ЧМн ж) будет равен сумме графиков спектров д) и е) для составляющих АМн₀ и АМн₁. Для нахождения промежуточных спектров АМн₀ и АМн₁ сигналов можно воспользоваться описанной выше методикой построения спектров AMн. Заметим, что скважность сигнала АМн₀ имеет дробный характер и равна 5/4, а скважность AMн₁ равна 5. Расчёты спектров промежуточных AM сигналов проводятся, как и раньше, с использованием формул (7), (8) и сводятся в таблицу, аналогичную таблице 1.

Рис. 4. Построение спектра ЧМн сигнала

Процесс построения спектра ОФМн сигнала показан на рис.5. На рисунке изображено: а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б)вспомогательный (виртуальный) модулирующий сигнал; в) гармонический сигнал-переносчик (несущая частота); г) ОФМн сигнал; д) спектр ОФМн сигнала.

Как нетрудно видеть, ОФМн сигнал можно представить как произведение двух сигналов: б) и в). Причем промежуточный сигнал представляет собой последовательность разнополярных прямоугольных импульсов, имеющую скважность 2 и период в два раза больший, чем у модулирующего сигнала d(t).Учитывая теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр ОФМн будет соответствовать спектру вспомогательного сигнала, сдвинутому вправо на частоту несущей. Для нахождения спектра ОФМн можно воспользоваться той же самой процедурой построения, описанной выше для AMн сигнала. Разница будет заключаться лишь в том, при расчете гармоник вспомогательного сигнала в формулу (7) нужно подставить удвоенную амплитуду U_m (т.е. учесть двойной размах сигнала), а значения частот самих гармоник необходимо уменьшить в два раза (учитывается двойной период вспомогательного сигнала). Кроме того, нулевая гармоника А₀, вспомогательного сигнала будет равна 0. т.к. сигнал симметричен относительно нуля.

Рис. 5. Построение спектра ОФМн сигнала