12. Свойства непрерывных функций в замкнутой ограниченной области

Теорема 12.1.(первая теорема Вейерштрасса). Если функциянепрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.

Доказательство.Докажем ограниченностьсверху (ограниченность снизу доказывается аналогично). Предположим, чтоне ограничена сверху в области. Тогда для любого натурального числанайдется хотя бы одна точкатакая, что(иначебыла бы ограничена сверху в области). Таким образом, существует последовательностьточек области, такая, что соответствующая последовательность значений функцииявляется бесконечно большой, т.е.. По теореме 4.3 из последовательностиможно выделить последовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей области. В силу непрерывности функциив точкесоответствующая последовательность значений функциидолжна сходиться к. Но это невозможно, ибо последовательность, будучи выделена из бесконечно большой последовательности, сама является бесконечно большой. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области. Тогда в силу теоремы 12.1 эта функция ограничена в этой области и сверху и снизу. Следовательно, у функциисуществуют в областиточная верхняя граньМи точная нижняя граньm(см. конец § 1). Естественно, возникает вопрос, является ли точная верхняя (точная нижняя) грань функции достижимой, т.е. найдется ли среди точек областитакая точка, значение функции в которой равно этой грани.

Теорема 12.2.(вторая теорема Вейерштрасса). Если функциянепрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных верхней и нижней граней.

Доказательство.Докажем, что функциядостигает в областисвоей точкой верхней граниM(достижение точной нижней грани доказывается аналогично). Предположим противное, что функцияне принимает ни в одной точке областизначениеM. Тогда для всех точек областисправедливо неравенствои мы можем рассмотреть в областивсюду положительную функцию. Так как знаменательне обращается в нуль и непрерывен в области, то по теореме 11.2 функциятакже непрерывна в области. В таком случае в силу первой теоремы Вейерштрасса функцияограничена в области, т.е. найдется положительное числоСтакое, что для всех. Последнее неравенство (с учетом того, чтоможно переписать в виде

. (12.1)

Неравенство (12.1), справедливое для всех , противоречит тому, что числоMявляется наименьшей из всех верхних граней. Полученное противоречие доказывает теорему.

После того как доказано, что функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области, достигает в этой области своих точных верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю граньнаибольшим значением, а точную нижнюю грань наименьшим значением функциив областии сформулировать теорему 11.2 следующим образом: непрерывная в замкнутой ограниченной области функция имеет в этой области наибольшее и наименьшее значение.

В случае функции одной переменной первая и вторая теорема Вейерштрасса формулируются в виде: Если функциянепрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке и достигает своих точных и нижних граней.

Следующие два результата касаются функций одной переменной.

Теорема 12.3.(Прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков).

Если функция непрерывна на отрезкеи на концах этого отрезка принимает значенияиразных знаков, то внутри отрезканайдется такая точка, значение функции в которой равно нулю.

Доказательство.Ради определенности предположим, чтои. Рассмотрим множествоХвсех точекдля которых. Это множество имеет хотя бы один элемент(ибои ограничена сверху (например, значением). Следовательно, множествоХимеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через. Заметим, что точкаявляется внутренней точкой отрезка, так как из непрерывности функциина отрезкеи из условий,в силу теоремы 11.4 существует правосторонняя окрестность точких=а, в пределах которой, и левосторонняя окрестность точки, в пределах которой(см. конец п. 5).

Рис. 12.1

Докажем, что . В противном случае, опять же по теореме 11.4, нашлась бы- окрестность, в пределах которой функцияимела определенный знак. Но это невозможно, ибо по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значениехиз полуотрезкатакое, чтоа для любого значенияхиз интервала. Итаки теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 12.3 может служить рис. 12.1. Теорема 12.3 может быть использована для приближенного вычисления корней уравнения.

Пусть дано уравнение , гденепрерывная функция. Находятся два значения аргументаитакие, чтои. Тогда в силу теоремы 10.3 внутри отрезка, еслиили внутри отрезка, еслисуществует корень уравнения. Далее, внутри отрезкаилинайдутся два значения аргументаитакие, чтои. Согласно теореме 12.3, корень уравнения находится между этими значениями аргумента. Процесс продолжается до тех пор, пока корень не определяется с требуемой точностью.

Теорема 12.4.(о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение).

Пусть функция непрерывна на отрезке, причем,Тогда, каково бы ни было числоС, заключенное междуАиВ, на отрезкенайдется точкатакая, что.

Доказательство.Достаточно рассмотреть лишь случай. Пусть для определенностии. Рассмотрим функцию. Эта функция непрерывна на отрезке(как разность двух непрерывных функций) и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков.,.

По теореме 12.3 внутри отрезка найдется точкатакая, что. Отсюдаи теорема доказана.

Иллюстрацией к теореме 12.4 может служить рис. 12.2.

С

Рис. 12.2