Уравнения плоскости

Простейшими поверхностями являются плоскости. Рассмотрим различные уравнения плоскостей в пространственной прямоугольной системе координат.

Уравнение плоскости S, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному векторуимеет вид

, (2.30)

Рис. 37

где M₀ (x₀ ,y₀ ,z₀) Sи {A,B,C}  S (Рис.37) .

Общее уравнение плоскости записывается следующим образом

Ax+By+Cz+D=0. (2.31) Здесь, как и ранее {A,B,C}  S .

Доказывается, что в декартовой пространственной прямоугольной системе координат всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат и каждое уравнение первой степени относительно текущих координат определяет плоскость. Поверхности, определяемые уравнениями первой степени в декартовых координатах, будем называть поверхностями первого порядка. И, следовательно, каждая плоскость – поверхность первого порядка; всякая поверхность первого порядка - плоскость.

Нормальное уравнение плоскости имеет вид

, (2.32)

где расстояние от начала координатO(0,0,0) до рассматриваемой плоскостиS(рис.38) по перпендикуляру (по нормали), и cos, cos, cos- направляющие косинусы этой нормали. Таким образом, уравнение (2.32) задается нормалью из начала координат на плоскость, ее длинной и направлением. Нормальное уравнение плоскости (2.32) облада-

Рис. 38

ет следующими свойствами:

1. -p 0 , посколькуp- расстояние, измеряемое положительными единицами;

2. - сумма квадратов коэффициентов нормального уравнения равна единице.

Таким образом, если мы будем иметь линейное уравнение относительно текущих координат x,y,z, свободный член которого не положителен и сумма квадратов коэффициентов равна единице, то такому уравнению будет соответствовать плоскость, расстояние которой от начала координат равно свободному члену, взятому с противоположным знаком, а коэффициенты перед текущими координатамиx,y,z- направляющие косинусы вектора, перпендикулярного плоскости.

Для перехода от общего уравнения плоскости (2.31) к уравнению нормального вида (2.32) достаточно разделить все члены уравнения (2.31) на нормирующий множитель , где знак или плюс, или минус выбирается противоположным знакуD в уравнении (2.31). Тогда уравнение - нормальное уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, строится из условия, что три точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃,,y₃, z₃), не лежащие на одной прямой, принадлежат плоскости S. Оно имеет вид

(2.33)

Уравнение плоскости в отрезках выглядит следующим образом

, (2.34)

Рис. 39

где a,b,c – отрезки отсекаемые плоскостьюSсоответственно на осяхOX, OY иOZ (рис.39).