Свойства линейного дифференциального оператора:
1)L(Cy) CL( y);
2)L(y1 y2 ) L( y1 ) L( y2 );
Свойства решений ЛОДУ:
1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1 (где С – постоянное число) также является его решением.
2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.
Фундаментальной системой решений 
ЛОДУ n-го порядка
на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения
y1 , y2 ,..., yn
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
|
|
|
|
|||||
W |
y1 |
y2 |
... |
yn |
Определитель Вронского |
|
... |
... |
... |
... |
|||
|
||||||
|
y(n 1) |
y(n 1) |
... |
y(n 1) |
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик
Теорема. Если функции y1 , y2 ,..., yn
линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.
Теорема. Если функции y1 , y2 ,..., yn
линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема. Для того, чтобы система решений ЛОДУ
y1 , y2 ,..., yn
была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема. Если y1 , y2 ,..., yn
фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение ЛОДУ является линейной комбинацией этих решений
y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn
где Ci –постоянные коэффициенты.
Общее решение ЛОДУ второго порядка
Теорема. Если задано уравнение вида
y p1 (x) y p2 (x) y 0
и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:
y C2 y1 y12 e p1 ( x)dx dx C1 y1.
1
Вывод: для получения общего решения надо подобрать какое- либо частное решение ДУ
2.1 Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
L( y) y(n) a y(n 1) |
... a |
n |
y 0 |
1 |
|
|
|
Решение будем искать в виде |
y ekx , |
||
где k = const. |
|
|
|
т.к. y kekx ; |
y k2ekx ; ... |
y(n) k nekx , то |
L(ekx ) ekx (k n a1k n 1 ... an ). = F(k)
|
|
|
Характеристический многочлен |
F (k) k n a k n 1 |
... a |
n |
|
1 |
|
|
Для того, чтобы функция y ekx
являлась решением исходного ДУ, необходимо и достаточно, чтобы
L(ekx ) 0;
т.е.
ekx F (k) 0.
0
Характеристическое уравнение |
F(k) 0 |