Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.

если его можно разрешить относительно старшей производной. Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:

y x,C1,C2,...,Cn

Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:

Решение, получающееся из общего решения при конкретных

1. Уравнения,

допускающие понижение

порядка.

1. Уравнения вида y(n) = f(x)

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием

y(n 1) f (x)dx C1;

y(n 2) f (x)dx C1 dx C2 dx f (x)dx C1 x C2 ;

………………………………………………

2.Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно

F(x, y(k ) , y(k 1) ,..., y(n) ) 0.

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц.

Для этого производят замену переменной:

y(k ) z; y(k 1) z ; ... y(n) z(n k ) .

F(x, z, z ,..., z(n k ) ) 0.

F(x, z, z ,..., z(n k ) ) 0.

Допустим, что полученное ДУ проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

z (x,C1 ,C2 ,...,Cn k ).

Делая обратную подстановку, имеем:

y(k ) (x,C1 ,C2 ,...,Cn k )

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем

y (x,C1 ,C2 ,...,Cn ).

3.Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

F ( y, y ,..., y(n) ) 0.

Если уравнение проинтегрировать, и

Ф( y, p,C1 ,C2 ,...,Cn 1 ) 0 - совокупность его решений,

то для решения данного ДУ остается решить уравнение первого порядка:

Ф( y, y ,C1 ,C2 ,...,Cn 1 ) 0.