Миргородская 7сессия / Методы оптимизации / Лабораторные работы / Нечеткие множества и операции над ними

Министерство образования и профессионального образования Российской федерации

Саратовский государственный технический университет

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу “Методы нечеткости в интеллектуальных системах” для студентов специальности 220200

Одобрено редакционно-издателъским советом

Саратовского государственного технического университета

Саратов 2005

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕТСВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу “Методы теории нечеткости в интеллектуальных системах”

Составили: Томашевский Юрий Болеславович

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - ознакомление с основными операциями над нечеткими множествами.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Нечетким множеством А в некотором (непустом) пространстве X, что обозначается как называется множество упорядоченных пар где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности),

принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М, например,

. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое

множество.

Операции над нечеткими множествами

Включение.

Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что А содержится в В, если . Обозначение:.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае, когда , говорят, что В доминирует А.

Равенство.

А и В равны, если . Обозначение:.

Дополнение.

Пусть , А и В - нечеткие множества, заданные на X. А и В дополняют друг друга, если . Обозначение: или .

Очевидно, что . (Дополнение определено для , но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение.

Пересечением нечетких множеств А и В является наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В, с функцией принадлежности

. Обозначение: .

Объединение.

Объединением нечетких множеств А и В является наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

. Обозначение: .

Разность.

Разностью двух нечетких множеств А и В является нечеткое множество с функцией принадлежности: .Обозначение:

.

Дизъюнктивная сумма.

Дизъюнктивной суммой двух нечетких множеств А и В является нечеткое множество с функцией принадлежности:

. Обозначение:

.

Примеры.

Пусть нечеткие множества заданы в виде:

4.

5.

6.

7.

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения , на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы X. Если X по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими

множествами.

На верхней части рис.1 заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На нижней

даны .

Свойства операций и

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: коммутативность ассоциативность – идемпотентность

дистрибутивность

где - пустое множество, то есть где Х – универсальное множество

законы де Моргана

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае

Это, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Алгебраические операции над нечеткими множествами Алгебраическое произведение нечетких множеств А и В обозначается и определяется так: .

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень а нечеткого множества А, где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности. Частным случаем возведения в степень являются:

- операция концентрирования - операция растяжения или разбавления,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Графическое представление операций концентрации и растяжения (разбавления) показано на рис.2.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть А - нечеткое множество, X - универсальное множество, и для всех определены нечеткие множества . Совокупность всех называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида где - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

Тогда

.

Четкое множество -уровня (или уровня ). Множеством -уровня нечеткого множества

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество А разложимо по его множествам

ЗАДАНИЕ

1.Изучить по конспекту лекций и предлагаемой литературе основные понятия и определения теории нечетких множеств и операций над ними,

2.Получить у преподавателя задание трех нечетких множеств А, В и С. Определить:

1.Истинно ли, то есть В доминирует ли А?

2.Являются ли пары и - парами недоминируемых нечетких множеств?

3.?

4.?

5.

6.

7.

8.

3.Построить алгоритмы арифметических операций.

4.Определить результат действия оператора Ф на нечеткое множество А, получив у преподавателя данные по Найти

5.Определить ,

6.Для заданного А осуществить его декомпозицию.

7.Оформить отчет но выполненной лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте определение нечеткого множества.

2.Охарактеризуйте основные операции над нечеткими множествами.

3.Как определяются алгебраические операции над нечеткими множествами? Приведите примеры.

4.Объясните, в чем смысл оператора нечеткости в теории НМ. Каков алгоритм его реализации?

5.Сформулируйте теорему декомпозиции. Приведите пример,

ЛИТЕРАТУРА

1.Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2.Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/ Борисов А.Н.и др. - М.: Радио и связь, 1988. - 303 с.

3.Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы /Д.Рутковская, М.Пилиньский, Л.Рутковский. - M.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 с.