Миргородская 7сессия / Методы оптимизации / Лабораторные работы / Нечеткие множества и операции над ними 2

Министерство образования и профессионального образования Российской федерации

Саратовский государственный технический университет

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу “Методы нечеткости в интеллектуальных системах” для студентов специальности 220200

Одобрено редакционно-издателъским советом

Саратовского государственного технического университета

Саратов 2005

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕТСВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу “Методы теории нечеткости в интеллектуальных системах”

Составили: Томашевский Юрий Болеславович

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - ознакомление с основными свойствами нечетких чисел и арифметических операций над ними, а также их применением в интеллектуальных системах.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Для адекватного выражения характеристик и параметров нечетко заданных объектов

может быть использован аппарат нечетких чисел [1,2,3].

Нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных

точки действительной оси. Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

Нечеткое число А положительно, если и отрицательно, если .

Операции над нечеткими числами

Принцип обобщения позволяет перенести различные математические операции с четких множеств на нечеткие. Рассмотрим некоторое четкое отображение f пространства X в пространство Y

.

Если задано нечеткое множество , то принцип обобщения заключается в том, что генерируемое этим отображением нечеткое множество В имеет вид

где

Это определение охватывает пространство X как с конечным, так и с бесконечным количеством элементов. Во втором случае формируемое отображением f нечеткое

множество В можно представить в виде

В случае нечетких чисел полезным является следующее определение.

Пусть X - это декартово произведение четких множеств . Если существует некоторое четкое отображение а также некоторые нечеткие множества , то принцип обобщения гласит, что формируемое отображением f нечеткое множество В имеет вид

где

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и др.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда Отсюда

Рассмотрим дискретный случай. Сложим и перемножим два нечетких числа, имеющих

получаем:

Легко проверить, что полученные нечеткие множества являются нормальными и выпуклыми, и что они представляют собой нечеткие числа (что случается не всегда).

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, то есть задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними. Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) б)

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R.) функций могут быть и т.д.

Пусть и - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е.=1) с помощью и задается следующим образом:

где а - мода; - левый и правый

коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных и нечеткое число (унимодальное) задается тройкой . Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров , где и - границы толерантности, то есть в промежутке значение функции принадлежности равно 1. Примеры графиков функций

принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Для определения аналогов обычных арифметических операций над нечеткими числами (L-R)-типа воспользуемся принципом обобщения. Замечательным свойством определенных таким способом арифметических операций является то, что они определяются на основе значений соответствующих параметров их (L-R)-представлений.

Пусть А и В - произвольные нечеткие числа (L-R)-типа, заданные параметрически в виде

Операция вычитания нечетких чисел (L-R)-типа обозначается через где параметры определяются следующим образом:

определяющий значение некоторого выходного показателя системы у при данных четких

Максимум берется по всем наборам параметров, для которых показатель у принимает заданное значение.

В случае дискретного спектра параметров при построении функции принадлежности использование указанной формулы не представляет трудностей. Для непрерывного спектра параметров приходится дискретизировать область их возможных значений. В результате искомое значение нечеткого числа у представляется кусочно-постоянной функцией принадлежности.

Построение функции при этом производится с помощью дискретной интерпретации вышеприведенной формулы

ЗАДАНИЕ

1.Изучить по конспекту лекций и предлагаемой литературе основные понятия и определения теории нечетких чисел и операций над ними.

2.Построить алгоритмы одной из арифметических операций для дискретного случая, для L-R нечетких чисел и на основе метода аппроксимации непрерывных чисел дискретными.

3.Составить и отладить программу, реализующую один из построенных алгоритмов (по указанию преподавателя).

4.Оформить отчет по выполненной лабораторной работе.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать следующие обязательные части:

1.Алгоритмы операции над нечеткими числами, реализующие перечисленные в задании методы.

2.Алгоритмы аппроксимации нечетких чисел, соответствующие перечисленным в задании методам.

3.Листинг текста программы, реализующей один из построенных алгоритмов (указанный преподавателем).

4.Листинг протокола работы программы, реализующей алгоритм операции, предложенной преподавателем.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение нечеткого числа.

2.Сформулируйте принцип обобщения и его следствия для основных арифметических операций.

3.Каковы основные свойства операций с нечеткими числами, в чем заключаются принципиальные отличия этих операций от операций с четкими числами? Приведите примеры.

4.Какие алгоритмы выполнения операций с нечеткими числами Вы знаете? Опишите один из них.

5.Приведите определение L-R нечетких чисел. Каковы особенности арифметических операций над ними?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2.Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/ Борисов А.Н.и др. - М.: Радио и связь, 1988. - 303 с,

3.Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы /Д.Рутковская, М.Пилиньский, Л.Рутковский. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 с.