Миргородская 7сессия / Методы оптимизации / Лабораторные работы / стохастическая неопределенность

Министерство образования и профессионального образования Российской федерации

Саратовский государственный технический университет

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу "Теория принятия решений" для студентов специальности 2202

Одобрено редакционно-издателъским советом

Саратовского государственного технического университета

Саратов 2000

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу "Теория принятия решений"

Составили: Васильев Дмитрий Анатольевич

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77

Копипринтер СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ВВЕДЕНИЕ

Во многих практических задачах управления приходится анализировать ситуации, в которых одной из оперирующих сторон выступает "природа", особенностью которой является безразличие к исходу операции. Несмотря на то, что в этих задачах нет сознательного противника (как, например, в случае конфликтной ситуации), сложность проблемы заключается в том, что оперирующая сторона не может представить себе образ действия "природы".

Для решения таких задач используется теория статистических игр, рассматривающая две большие группы ситуаций :

-статистические игры, в которых невозможно проведение экспериментов;

-статистические игры с возможностью проведения экспериментов.

Внастоящей лабораторной работе изучаются простейшие приближенные методы решения статистических игр.

Цель работы. Ознакомление с основными понятиями теории статистических игр и изучение приближенных методов решения статистических игр с возможностью проведения экспериментов и без экспериментов.

ЗАДАНИЕ

1.Ознакомиться с предлагаемыми методами решения статистических игр.

2.Реализовать подпрограмму генерации игровой ситуации, в соответствии с реализуемым методом решения игры.

3.Построить алгоритм одного из рассматриваемых методов, указанного преподавателем.

4.Разработать программу, реализующую построенный алгоритм.

5.Сделать итоговые выводы по результатам работы программы.

6.Оформить отчет о выполненной лабораторной работе, отчитаться преподавателю.

ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЯЗЫКОВЫЕ СРЕДСТВА

Для выполнения работы используются ПЭВМ с процессором не ниже 386. При написании программ могут использоваться такие языки программирования, как BASIC, PASCAL, С++.

Статистические игры без экспериментов

Ситуация с формальной точки зрения совпадает с матричной игрой, т.к. может быть задана в виде таблицы выигрышей оперирующей стороны, строки которой соответствуют нашим стратегиям , а столбцы - стратегиям "природы". которые здесь называются возможными состояниями природы.

Отличие от стратегической теории игр концептуальное: мы не можем приписать природе какой-либо осознанный или целенаправленный образ поведения.

Матрица выигрышей в конкретном случае может имеет следующий вид:

Существует другой способ описания ситуации - задание матрицы риска. Для этого в

Возможны три ситуации, связанные с данной задачей:

2.Известны вероятности, с которыми наступает состояние "природы".

3.Вероятности не известны, но по их значениях можно судить с некоторой достоверностью (на основании нашего опыта или опыта эксперта).

4.Ничего не знаем о вероятностях.

Рассмотрим первый случай. Вероятности известны, но в то же время нет никакой

возможности их уточнить. В этой ситуации можно поступить следующим образом: либо максимизировать средний выигрыш, либо минимизировать средний риск.

Пусть - вероятность состояний "природы" . Тогда средний выигрыш будет равен

где n - количество состояний "природы". Средний риск будет определяться

Оптимальные стратегии будут определяться следующими выражениями:

Можно доказать, что оба подхода нахождения оптимальной стратегии эквивалентны, и независимо от того, какой подход будет использоваться, мы найдем одну и ту же стратегию, т.е.

Рассмотрим второй случай. В этом случае вероятность можно принять равной q, основываясь на принципе недостаточности оснований Лапласа.

Другой вариант возможно применить тогда, когда, не зная точные вероятности состояния природы, мы можем упорядочить состояния по вероятности. Затем выбрать какую-либо убывающую последовательность (например, геометрическую) из n чисел, нормировать ее до 1 и наложить на упорядоченную по убыванию последовательность состояний "природы":

Рассмотрим третий случай. Ничего не известно о вероятностях. Для этого случая существуют три критерия:

1.Критерий Вальда.

2.Критерий Севиджа.

3.Критерий Гурвица.

Максиминный критерий Вальда (крайний пессимизм). Он основан на том, что мы предполагаем, что "природа" крайне злонамеренна. Математически он выражается следующим образом:

Критерий минимакса риска Севиджа:

Критерий пессимизмаоптимизма Гурвица:

где - степень нашего пессимизма . Применим эти критерии к нашей задаче: по критерию Вальда мы выбираем первую стратегию по критерию Севиджа выбираем третью стратегию

по критерию Гурвица выбираем третью стратегию. , при .

Статистические игры с единичным экспериментом

При решении статистических игр с единичным экспериментом возможно провести идеальный либо неидеальный эксперимент.

Идеальный - это такой эксперимент, который полностью выясняет состояние "природы".

Неидеальный эксперимент уточняет вероятности (в смысле Байеса).

Один из основных вопросов статистической игры с идеальным экспериментом состоит в определении, покроет ли эффект от эксперимента затраты на его проведение. Если да - то эксперимент целесообразно проводить, если нет - то эксперимент не проводится.

Рассмотрим случай идеального эксперимента. Оперирующая сторона обычно

выраженная в тех же единицах, что и .

Можно считать, что если мы не будем проводить эксперимент, то можем выбрать ту стратегию, которой соответствует:

,

Если мы проведем эксперимент, то выясним, какое из состояний будет иметь место и уже тогда выберем

Поскольку мы не знаем, какое же состояние возникнет, то мы должны до эксперимента рассчитывать средний выигрыш:

Проведение эксперимента целесообразно, если результирующий выигрыш будет выше, чем сумма старого выигрыша (до экспериментального) и стоимость эксперимента

Пример: На технологическую линию может поступить сырье разного качества. Из прошлого опыта известно, что в 60% случаев сырье поступает с малым количеством примесей (), а в 40% - с большим (). На линии имеется три режима работы . Прибыль предприятия от реализации продукции зависит от и от по следующей таблице:

Исходя из данной таблицы, построим матрицу риска и определим средний риск:

Средний риск Если стоимость эксперимента не больше 0.8, то стоит его проводить. В противном случае в качестве оптимального стоит использовать режим обеспечивающий

Рассмотрим случай неидеального эксперимента.

В этом случае мы имеем следующие исходные данные:

В этом случае необходимо решить два вопроса:

1. Целесообразно ли проводить эксперимент?

2.Если проводить эксперимент целесообразно, то определить, какая из стратегий должна быть выбрана в качестве оптимальной.

Если в результате эксперимента возникает ситуация , то используя формулу Байеса, можно рассчитать апостериорные вероятности:

Определяем для каждой стратегии средний выигрыш с учетом апостериорных вероятностей:

- условный средний выигрыш от стратегии при условии, что эксперимент дал результат .

Находим соответствующий оптимально-средний выигрыш:

где - номер стратегии при исходе .

Для усреднения этого результата по всем возможным исходам нужно найти вероятности каждого исхода:

Находим средний выигрыш при условии проведения эксперимента:

Необходимо сравнить полученный результат с

Очевидно, что эксперимент следует проводить при условии

Решающее правило задается формулой (*). Если правило (***) не выполняется, то необходимо пользоваться формулой (**).

Пример: Дана матрица платежей (табл.1) и матрица условных вероятностей

(табл.2):

Таблица 1

Таблица 2 Если эксперимент не проводить, то по первой таблице мы можем легко определить

Теперь вместо первой таблицы мы имеем таблицу для исхода .

Итак, обрабатывая эту таблицу по известному алгоритму, мы находим, что для

1)для

2)для Ответим на вопрос: следует ли проводить эксперимент? Для этого сначала находим

вероятности соответствующих исходов (по формуле полной вероятности):

Таким образом, максимальный средний выигрыш составит: согласно Можно сделать вывод о целесообразности проведения эксперимента в случае, когда

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1.Название работы, ее цель и задание.

2.Описание алгоритма решения игры.

3.Листинг программы, реализующий заданный преподавателем алгоритм.

4.Листинг протокола решения игры.

5.Оценку результатов решения.

6.Выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие способы описания ситуации игры Вы знаете?

2.Что показывает вектор вероятностей состояний "природы"?

3.Какими способами определяется оптимальная стратегия игры?

4.Что понимают под понятиями идеального и неидеального экспериментов?

5.При выполнении какого условия целесообразно проводить эксперимент при решении игры с идеальным единичным экспериментом?

6.Перечислите исходные данные, необходимые для решения игры с единичным неидеальным экспериментом.

7.Изложите алгоритм решения игры с единичным неидеальным экспериментом.

ЛИТЕРАТУРА

1.Воробьев Н.Н. Теория игр. Лекция для экономистов - кибернетиков. -Л., 1974. 2.Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1972.

3.Венцель ГС.С. Исследование операций. М., 1982.