Качественный порядок

Качественный порядок – асимметричное транзитивное отношение. Всякий слабый порядок является качественным т.к. негатранзитивность и асимметричность влечет за собой транзитивность.

Главное свойство качественного порядка состоит в том, что он ацикличен.

Функция выбора

Пусть G – множество альтернатив, X – подмножество множества G, т.е

.

Введем понятие – функции выбора C:, которая удовлетворяет условию.

В основе построения функции C могут лежать различные механизмы выбора.

Пара называетсяобстановкой, а предъявлением.

Механизмы выбора:

1. Скалярный оптимизационный механизм.

,

где x – аргумент, на котором функция f(x) достигает максимума.

2. Условно экстремальный механизм.

,

Пример - выбор в математическом и линейном программировании.

3. Оптимизационный механизм доминирования, определенный бинарным отношением R.

4. Механизм блокировки определенный бинарным отношением R, так называемый выбор «не улучшаемых» по R элементов x.

C^R и C_R отличаются, если R не полное или не антисимметричное бинарное отношение.

Можно доказать, что и

5. Механизм ограничений, определяемый бинарным отношением R и заданным элементом . Это выбор элементовx из X лучших по R фиксированного элемента u .

,

причем u может и не принадлежать X.

6. Механизм блокирующих ограничений.

,

задается элементом uG. Это выбор таких x, которые не доминируются фиксированным элементом uG.

7. Паретовский механизм. Он определяется набором функций.

8. Механизм лексикографической оптимизации (по этому механизму упорядочены слова в словарях).

9. Механизм лексикографической оптимизации с уступками.

где δ – уступка.

10. Совокупно – экстремальный механизм. Для любого предъявленного X выбираются элементы из X, максимальные в нем по крайней мере по одному критерию f_i.

11. Турнирный механизм. Этот механизм, определяемый отношением R, представляет собой скалярный оптимизационный механизм с критерием.

12. Механизм центра тяжести (исходное множество Х должно быть выпукло).

.

13. Сильно доминантный механизм доминирования. Определяется бинарным отношением R.

14. Сильно доминантный механизм блокировки.

15. Слабо доминантный механизм доминирования.

16. Слабо доминантный механизм блокировки.

17. Гипердоминантный механизм доминирования.

18. Гипердоминантный механизм блокировки.

19. Механизм голосования. Мажоративный выбор (выбор по большинству).

Классификация функций выбора

Непосредственное задание функции выбора осуществляется в виде таблицы, в которой каждому допустимому предъявлению X сопоставляется выбор . К такому заданию приходится прибегать в том случае, когда механизм которой неизвестен.

Для автоматизации интеллектуальных решений в определенной области создаются экспертные системы, основой которых являются так называемые базы знаний (БЗ).

Понятие БЗ до сих пор четко не определено и в разных работах истолковывается по-своему. Под БЗ следует понимать частичную функцию выбора, отражающую опыт эксперта и механизм наполняющий ее. В качестве такого механизма наполнения может быть применена, например, некоторая интерактивная система, позволяющая по подходящему аксиоматическому определению выбора и известной частичной функции выбора восстановить ее значение на заданном предъявлении.

К табличному описанию функции выбора прибегают тогда, когда нет компактной записи механизма. Компактная запись функции выбора возможна в двух случаях:

1. когда известен механизм выбора,

2. когда известен набор условий, определяющих «рациональный» выбор. .

В первом случае говорят о поэлементном, во втором – о целостном описании функции выбора.

Классы функций выбора:

Обозначим через множество возможных функций выбора, выделяя два подмножества:

₀ – функция не пустого выбора ();

₁ – множество единичного, одноэлементного выбора ().

1 Теорема Сена

Бинарное отношение R порождает функцию выбора, принадлежащую подклассу ₀ в том случае когда отношение R рассматривается как отношение блокировки.

2 Теорема Сена

Бинарное отношение R порождает однозначную функцию выбора подкласса, ₁ тоже рассматривается как отношение блокировки C^R тогда и только тогда, когда R не только симметрично, но и ациклично.

Аксиомы функции выбора (Айзерман – Малишевский)

1 аксиома. Аксиома наследования (Н).

2 аксиома. Аксиома согласия (С).

«Согласия» - потому, что выбор по подмножеству должен быть согласован с выбором по всему множеству.

3 аксиома. Аксиома отбрасывания (О).

4 аксиома. Аксиома константности (К). (Усиленная аксиома Н)

Другие аксиомы

Аксиома Плотта.

Аксиома сумматорности.

Аксиома мультиплексивности.

Свойство монотонности.

Возвратимся к аксиомам Н, С, О. Каждая из этих аксиом в каждом из классов «вырезает» соответствующие подклассы.

Σ: Н,С,О Σ₀: Н₀,С₀,О₀ Σ₁: Н₁,С₁,О₁

Теорема о независимости в совокупности аксиом Н, С, О.

Введем классы , тогда каждый из следующих восьми классов не пусты:

1класс.

2 класс.

8 класс.

Теорема о константности.

Теорема о множестве Σ₁.

В подмножестве Σ₁: Н₁=О₁=К₁