2. Процесс построения математических моделей

   1. Определение задачи исследования. Обследование объекта и построение сценариев его функционирования

Источником возникновения проблем, требующих принятия управленческих решений, являются ситуации, возникающие в процессе функционирования реальных производственно-экономических объектов. Обычно исследование начинается с описания заказчиком проблемной ситуации в весьма нечетких формулировках Он описывает ситуацию в виде перечня «симптомов», на основании которых исследователь должен провести постановку «диагноза» – определить задачу исследования. Иначе и быть не может, т.к. если бы заказчик знал точно, в чем суть проблемы и каков лучший способ ее решения, он решил бы ее сам. В результате анализа ситуации исследователем совместно с заказчиком определяется перечень проблем, подлежащих решению. А на их основе формулируются цели и задачи проводимого исследования.

Цель исследования определяет цель построения модели. Модели могут строиться для следующих целей:

1. Выявление функциональных соотношений– определение количественных зависимостей между входными факторами моделии выходными характеристиками исследуемого объекта. Подобного рода модели по своему характеру являются описательными; задача выявления функциональных соотношений присутствует при построении математических моделей любых типов. Разновидностью данного типа исследования является задача измерения неявных свойств объекта (выделение латентных переменных), при решении которой (например, с помощью математического аппарата факторного анализа) выражают большое число исходных косвенных факторов через меньшее число более емких внутренних характеристик явления, не имеющих непосредственного количественного выражения.

2. Анализ чувствительности – установление из большого числа действующих факторов тех, которые в большей степени влияют на интересующие исследователя выходные характеристики. Модели анализа чувствительности должны обязательно предусматривать возможность варьирования интересующими исследователя факторами: характеристиками внешней среды, начальными условиями. Переменными управления. Помимо основной математической модели –системы функциональных соотношений – они могут включать модели входов, обеспечивающие целенаправленную вариацию входных факторов, и модель выхода, проводящую обработку результатов вычислений и дающую итоговую информацию о степени чувствительности модели к тому или иному фактору. Модели анализа чувствительности могут быть использованы также для оценки точности решений, получаемых по моделям любых типов.

3. Прогноз – оценка поведения объекта при некотором предполагаемом сочетании внешних условий. Обычно задачи прогноза являются динамическими относительно входов, и в качестве независимой (неуправляемой) переменной в них выступает время. Модели прогноза также являются описательными. Основная система функциональных соотношений в зависимости от специфики задачи может быть функцией времени (но может и не быть). Функцией времени, как правило, являются характеристики внешней среды, а также в ряде случаев параметры объекта. Для реализации моделей прогноза необходимо построение динамических моделей входов, отражающих характер изменения указанных факторов во времени.

4. Оценка – определение, насколько хорошо исследуемый объект будет соответствовать некоторым критериям. В отличие от рассмотренных выше типов моделей модели оценки включают расчеты интересующих исследователя интегральных характеристик – критериев, формализующих цели исследователя. Модели оценки занимают промежуточное положение между описательными и оптимизационными моделями – в них заданы критерий и его некоторое «критическое» значение, но проводится не оптимизация, а лишь сравнение расчетного значения с «критическим», после чего принимается решение об удовлетворении характеристик объекта предъявленным требованиям. В практических расчетах точностные требования к моделям данного типа повышенные.

5. Сравнение – сопоставление ограниченного числа альтернативных вариантов систем или же сопоставление нескольких предлагаемых принципов или методов действия. Задача сравнения предусматривает оценку каждого варианта по одному или нескольким критериям и дальнейший выбор наилучшего. Число вариантов предполагается незначительным, в связи с чем оцениваются все варианты (прямой перебор). Хотя модели этого типа близки к оптимизационным, специальный блок оптимизации в них отсутствует.

6. Оптимизация – точное определение такого сочетания переменных управления, при котором обеспечивается экстремальное (максимальное или минимальное в зависимости от смысла критерия оптимальности) значение целевой функции. Главное отличие от вышерассмотренного случая – наличие специального блока оптимизации, позволяющего целенаправленно и наиболее эффективно с вычислительной точки зрения просматривать множество альтернативных вариантов, число которых зачастую близко к бесконечности.

Назначение модели определяет процесс ее конструирования и экспериментальной проверки. Так, для оценки действительных характеристик объекта в общем требуется большая точность, чем при выборе одного варианта из нескольких. С другой стороны, грубая модель сравнения может быть пригодна, если в пределах расчетной точности она выделит лучший вариант, даже если эта точность и невелика.

Любое исследование должно начинаться с плана, показывающего, как оно будет проводиться, какие методы будут использованы и в какой последовательности будут выполняться работы. При этом обязательно выполнение двух этапов (как правило, последовательно чередующихся): выявление фактического положения и анализа. Первый этап тесно связан со сбором информации по определению природы и целевого назначения объекта. Анализ связан с осмыслением совокупности фактов с целью выявления структуры объекта и взаимодействия его элементов в процессе функционирования. Именно в результате анализа строится сценарий функционирования. Именно в результате анализа строится сценарий функционирования объекта и определяется концепция будущей математической модели.

Для построения математической модели объекта и управления объектом на ее основе необходимо решение следующих задач:

• разработка описания функций, реализуемых объектом исследования;

• определение взаимодействий «процесс – материалы – кадры – информация» в процессе функционирования;

• определение математических зависимостей между воздействиями внешней среды, параметрами и переменными изучаемого объекта;

• определение экономических зависимостей и целей управления объектом.

Этим задачам соответствует четыре типа моделей:

• функциональные модели работы объекта, описывающие функции объекта и взаимосвязанной совокупности процессов функционирования отдельных элементов объекта;

• процедурные модели, описывающие порядок (процедуру) работы по выполнению различных операций исследуемого процесса (обработки материалов, деятельности персонала, использования информации);

• модели элементарных процессов, определяющие математические зависимости между переменными процесса;

• стоимостные модели, определяющие зависимости между экономическими переменными т целями управления объектом.

Исходная информация, вручаемая исследователю при получении задания, как правило, недостаточна для точной формулировки задачи и построения модели. Целям детального уяснения задачи служит сбор недостающей информации, производимый путем обследования и анализа исследуемого объекта. При обследовании объекта собирается информация для решения всех четырех задач, но в первую очередь обращается внимание на разработку функциональных и процедурных моделей, помогающих понять работу объекта.

Источниками получения информации являются:

• документы, в том числе управленческая, научная и техническая документация, должностные инструкции и положения, приказы и т.д.;

• управленческо-административный персонал, путем бесед и анкетирования с которым устанавливаются и уточняются необходимые функции и организационные связи в системе;

• производственный персонал в цехах и подразделениях, контакт с которым дает возможность определить действенность различных форм управления;

• непосредственные наблюдения за процессом функционирования и фиксации количественных характеристик при проведении натурного эксперимента на реально существующей аппаратуре и оборудовании.

В случае вновь проектируемых объектов для представления процесса их функционирования используют накопленный опыт и результаты наблюдения над процессом функционирования аналогичных систем с учетом особенностей проектируемого объекта. Недостающая информация может быть определена и в результате специально организованного поиска и сбора научных сведений. Вид информации, необходимой для решения проблемы, в первую очередь определяет способ сбора и регистрации информации, средства и устройства, используемые для этого. Собранные данные целесообразно рассматривать как предварительные, проверять их достоверность по другим источникам.

В процессе обследования объекта пытаются четко определить содержание проблемы, выявит факторы, влияющие на ход рассматриваемых процессов, и установить отношения между ними.

Результаты обследования объекта и окружения оформляются в виде описания процесса функционирования объекта – сценария. Содержательное описание в словесном выражении дает картину функционирования объекта в целом и его отдельных частей во времени при различных воздействиях окружения, содержит исходную информацию для дальнейшей математической формализации задачи.

Рекомендуемые этапы построения сценария процесса функционирования объекта и соответствующие элементы описания приведены в табл.2.1.

Рассмотрим содержание работы на этих этапах.

Этап 1.

При анализе собранной информации и построения сценария функционирования объекта в первую очередь строят его каноническую модель. Для этого прежде всего выявляют границы между объектом и внешней средой (т.е. определяют понятие «исследуемый объект») и между внешней средой и окружением. Для исследуемой системы (процесса) окружениеесть множество всех объектов вне системы, изменение характеристик которых влияет на систему или (и) характеристики которых изменяются вследствие поведения системы. Таким образом, окружение есть учитываемая при исследовании часть внешней среды.

Таблица 2.1. Процедура построения сценария

Этап	Содержание сценария	Результат проведения этапа: Элемент описания
1	Определение понятия «объект» и «окружение». Анализ и классификация входов и выходов объекта	Каноническая модель объекта, перечень и классификация входов и выходов
2	Изучение структуры объекта и его отдельных элементов	Иерархическая модель структуры объекта. Модель внутренней структуры
3	Разнесение входных воздействий по элементам объекта. Описание микрообъектов– элементов и их окружения	Канонические модели для каждого из элементов объекта, перечни параметров, характеризующих отдельные элементы объекта
4	Выделение элементарных процессов, происходящих в исследуемом объекте	Перечень элементарных процессов (моделей процессов, которые предстоит построить)
5	Описание взаимодействия отдельных элементов объекта между собой и с окружением при возможных состояниях окружения	Функциональные модели операций, выполняемых объектом, информационные и процедурные модели

Рассмотрим особенности канонических моделей. Объект взаимодействует с окружением посредством входов и выходов.

Рис. 2.1. Каноническая модель объекта исследования

Как показано на рис. 2.1. , основными типами входов являются: x₁ – информационный вход, управляющий деятельностью объекта или подлежащий переработке объектом;x₂ – энергетический вход, обеспечивающий развитие объекта или его поддержание на заданном уровне производительности;x₃– материальный вход, представляющий собой поток материальных средств, подлежащих переработке объектом либо потребляемых в процессе его функционирования;x₄– кадровый вход, обеспечивающий объект подготовленными для участия в процессе функционирования кадрами.

Указанные входы представляют собой организованные входы, их наличие обеспечивается целеустремленной деятельностью людей. Помимо организованных входов есть неорганизованные, как правило, затрудняющие деятельность системы входы – возмущения х_В, поступающие из окружения (срывы сроков поставки материалов, несоответствие марки материала и т.д.), которые также могут быть классифицированы по этим четырем типам.

Таким образом, вход исследуемого объекта представляет собой вектор

.

Каждый вход может иметь несколько составляющих, так что

где i- тип входа;j– номенклатура входа;g– источник входа.

Результат деятельности системы – вектор выхода может быть охарактеризован аналогичными составляющими:

,

где – информационный выход, характеризующий результат информационной деятельности системы;– энергетический выход, характеризующий передачу энергии от системы в окружающую среду и отход элементов системы (по выработке их ресурса), несоответствию требований или дефектам;– материальный выход, характеризующий материальный результат целенаправленного действия системы (то, что система произвела), а также отходы сырья и материалов;– кадровый выход, характеризующий движение (выбытие) кадров;–выход-возмущение, характеризующий побочные действия объекта на окружение (в свою очередь также может быть подраздел на информационный, энергетический, материальный и кадровый).

Как и для входов, составляющие вектора выхода могут быть представлены в виде

где i- тип выхода;j– номенклатура выхода;g– назначение выхода.

Характерные входы и выходы производственной системы представлены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Типовые входы и выходы канонической модели

Тип	Входы	Входы
Материальные	Сырье, материалы и полуфабрикаты; деньги, узлы, агрегаты, изготовляемые по планам кооперации. Технологическое оборудование и оснастка, здания и сооружения, возводимые взамен изношенных	Готовые изделия; запасные части; изделия, изготовляемые по планам кооперации; отходы сырья и материалов. Отход технологического оборудования и оснастки; отход зданий и сооружений; производственные отходы
Энергетические	Электроэнергия и горюче-смазочные вещества, необходимые для производственной деятельности	Отходы горюче-смазочных веществ и различных видов энергии
Информационные	Плановые задания на изготовление продукции; техническая и технологическая документация; информация о формировании входов; информация о результатах эксплуатации изделий	Технические описания, инструкции; паспорта на продукцию; отчетная документация; информационные связи с эксплуатирующей организацией
Кадровые	Кадры, подготовленные для работы на предприятии; кадры, требующие переподготовки и подготовки силами предприятия	Кадры, переведенные в плановом порядке; потери кадров
Возмущения	Непредвиденные изменения в технической документации на изготовление изделий, непоставка в срок материалов, временный отрыв кадров от производства и т.д.	Выпуск бракованной продукции; нарушение системы кооперированных поставок; загрязнение окружающей среды производственными отходами, недостоверная информация

Определение необходимого состава факторов, включаемых в исследование, подразумевает перечисление всех факторов, влияющих как положительно, так и отрицательно на результаты работы объекта. Определить выходные факторы обычно нетрудно. Если хорошо проработан вопрос о целях и назначении исследования, требуемые выходные характеристики почти самоочевидны. Трудности возникают при определении существенности входных факторов, т.е. того, какие входные факторы влияют на исследуемую проблему и какими из них возможно и необходимо варьировать, чтобы получить желаемое решение.

При анализе факторов целесообразно кроме классификации по типам классифицировать по их следующим признакам:

1. по возможности количественного описания:

количественные, скалярно измеряющие в определенной шкале степень проявления данного свойства. Для количественных факторов необходимо дать полное техническое описание каждого фактора по основным типам свойств – пространственных, временных, информационных, физических. Кроме того, могут быть рассмотрены также такие свойства факторов, как стационарность или нестационарность, непрерывность или дискретность по времени или величине;

порядковые, позволяющие распределить множество объектов по группам, упорядочивающим анализируемые объекты по степени проявления в них изучаемого свойства, причем каждая группа соответствует некоторой области значений количественных факторов, характеризующих данное свойство. Примером может служить фактор «квалификационный разряд» рабочего, количественными характеристиками могут служить нормативы затрат труда при выполнении тех или иных производственных операций;

классификационные(номинальные), позволяющие разбивать совокупность некоторых объектов на не поддающиеся упорядочиванию однородные по анализируемому свойству классы, например профессия работника, регламент обслуживания или режим работы оборудования.

Качественные факторы этих видов в модели задаются уровнями – условными обозначениями (номерами или индексами) групп или классов, причем для порядковых факторов номера или индексы обязательно упорядочены, а для классификационных факторов порядок их обозначений безразличен. Порядковые и классификационные факторы могут существенно влиять на облик модели: в ряде случаев для описания каждого уровня или группы уровней может потребоваться построение собственной математической модели.

Часть качественной информации на современном уровне развития науки в принципе не поддается формализации в математической модели (например, влияние настроения рабочего, общественное мнение) и поэтому не может быть включена в модель.

2. по степени определенности:

детерминированныминазываются факторы, значения которых для исследуемого процесса фиксированы и известны исследователю;

случайными (стохастическими) факторами называются такие, для которых известен вид закона распределения и его характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия и т.д.), хотя каждая конкретная реализация такого фактора в исследуемом процессе не известна;

неопределенными называются факторы, для которых известна только область распределения фактора – диапазон его возможных значений. Если известно, что фактор случаен, но не известен точно закон его распределения, то он также относится к неопределенным.

Неопределенные факторы появляются из-за недостаточной изученности каких либо процессов, протекающих в окружении и либо не зависящих от деятельности людей – природные неопределенности, либо появляющихся за счет поведения людей, входящих в окружение исследуемого объекта – «противника», действующего независимо от исследователя и не преследующего его целей. Факторы первой группы при дальнейшем изучении, в том числе и с помощью специально поставленных экспериментов, могут быть переведены в разряд случайных или даже детерминированных;

3. по роли факторов в модели:

• выходные характеристики окружения, являющиеся входами модели функционирования объекта. Они могу быть детерминированными (начальные условия), стохастическими и неопределенными;

• переменные управления (переменные математической модели), количество которых и диапазоны их изменения устанавливаются исследователем на основе изучения возможностей заказчика по управлению объектом. В качестве переменой динамической модели может выступать независимая от исследователя переменная «время»;

• процедурные действия, как правило, дискретные события, влияющие на течение процесса функционирования объекта (пуск, переключение режимов работы, останов и т.п.). Часть из них может рассматриваться как качественные дискретные переменные управления ( например, режим работы, наилучший для данной ситуации). Процедурные действия в математической модели учитываются в виде логических условий, определяющих правила их введения. Как привило, каждое конкретное процедурное действие определяет свои границы изменения количественных переменных управления;

• начальные параметры объекта – детерминированные факторы, характеризующие те или иные свойства элементов объекта на момент начала моделирования;

• переменные состояния являются зависимыми переменными и характеризуют свойства элементов объекта, меняющиеся в процессе протекания исследуемого процесса. Это промежуточные параметры модели, значения которых зависят от значений характеристик окружения, переменных и процедур управления, начальных параметров объекта времени;

• выходные переменные характеризуют либо конечное состояние объекта в результате выполнения исследуемой операции, либо интересующие исследователя конечные результаты функционирования объекта. В первом случае в качестве выходных переменных выступают те или иные переменные состояния, во втором – либо переменные состояния, либо, что значительно чаще, выходные характеристики, произведенные от переменных состояния.

Этап 2

Одновременно с анализом входных и выходных факторов изучаются внутренняя структура объекта, принимаются решения о включении тех или иных элементов изучаемого объекта в состав его будущей модели. При этом физические границы объекта вовсе не обязаны совпадать с границами модели объекта. Так, например, при рассмотрении вопросов оперативного управления производством продукции в цехе в модель можно не включать блоки работы ряда непосредственно не влияющих на него подразделений цеха (бюро труда и заработной платы, хозяйственный персонал и вспомогательные службы), установив их характеристики на определенном фиксированном уровне.

Структура объекта рассматривается с помощью моделей двух типов: иерархической модели и модели внутренней структуры.

В иерархической модели объект расчленяется на уровни согласно принципу подчинения низших уровней высшим. В общем случае любую систему можно подразделить на подсистемы определенного ранга (Рис.2.2). В качестве верхнего нулевого уровня целесообразно рассматривать суперсистему, т.е. систему, в которую исследуемый объект входит в качестве подсистемы первого ранга. Это позволяет уточнить состав подсистем суперсистемы, связанных с исследуемым объектом и входящих в его окружение.